Question

如圖所示，靜止在粗糙水平面上的斜面體有三個(gè)光滑斜面AB、AC和CD．已知斜面AB與水平方向成37°角，斜面AC與水平方向成53°角，斜面CD與水平方向成30°角，A點(diǎn)與C點(diǎn)的豎直高度為h₁=0.8m，C點(diǎn)與D點(diǎn)的豎直高度為h₂=3.25m．在B點(diǎn)左側(cè)的水平面上有一個(gè)一端固定的輕質(zhì)彈簧，自然長(zhǎng)度時(shí)彈簧右端到B點(diǎn)的水平距離為s=3.9m．質(zhì)量均為m=1kg的物體甲和乙同時(shí)從頂點(diǎn)A由靜止釋放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙兩物體下滑過(guò)程中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，且兩物體運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)B點(diǎn)、C點(diǎn)、D點(diǎn)時(shí)，速度大小不改變，只改變方向．甲進(jìn)入水平面后向左運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧的最大壓縮量為x=0.1m，乙物體進(jìn)入水平面后便向右運(yùn)動(dòng)最終停止．已知甲物體與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.6，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能為多少？
（2）甲物體最終停止位置距B點(diǎn)多遠(yuǎn)？
（3）通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明甲乙兩物體是否同時(shí)滑到水平面上？

Answer 1

（1）當(dāng)滑塊甲運(yùn)動(dòng)到最左端時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，對(duì)滑塊甲從A到最左端過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，得到
mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）-W_彈=0-0
彈簧彈力做的功等于彈性勢(shì)能增加量，故
E_pm=W_彈
解得
E_pm=mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）=1×10×（0.8+3.25）-0.6×1×10×（3.9+0.1）=16.5J
即彈簧的最大彈性勢(shì)能為16.5J．
（2）對(duì)甲物體從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，有
mg（h₁+h₂）-μmg?L=0-0
解得
L=

h1+h2

μ

=6.75m
故甲物體最終停止位置距B點(diǎn)為：x₁=2（h₁+h₂）-L=1.25m．
 （3）甲物體受重力、支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有
mgsin37°=ma₁
根據(jù)位移時(shí)間公式，有

h1+h2

sin37°

=

1

2

a1

t

21

解得
t₁=1.5s
對(duì)于乙物體，在傾角為53°的斜面上時(shí)，加速度設(shè)為a2，在傾角為30°的斜面上時(shí)，加速度設(shè)為a₃
根據(jù)牛頓第二定律，有
mgsin53°=ma₂
mgsin30°=ma₃
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有

h1

sin53°

=

1

2

a2

t

22

v=a₂t₂

h2

sin30°

=vt₃+

1

2

a3

t

23

解得
t₂=0.5s
t₃=1s
故t₁=t₂+t₃
即甲乙兩物體同時(shí)到達(dá)水平面上．