Question

3．如圖，傾角為30°的直角三角形底邊BC長為2L，底邊BC處在水平位置上，斜邊AC是光滑絕緣導(dǎo)軌，現(xiàn)在底邊中點O處固定一正點電荷Q．讓一質(zhì)量為m的帶正電的質(zhì)點，從斜面頂端A處沿斜邊由靜止滑下（不脫離斜面）．測得它滑到點B在斜邊上的垂足D點處時的速度為v，加速度為a，方向沿斜面向下．
求：（1）點電荷Q在C處產(chǎn)生的電場的場強；
（2）該質(zhì)點滑到斜面底端C點時的加速度；
（3）該質(zhì)點滑到斜面底端C點時的速度．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何知識分析得到B、C、D三點在以O(shè)為圓心的同一圓周上，三點的電勢相等，電荷q從D到C過程中只有重力做功，根據(jù)動能定理求出質(zhì)點滑到斜邊底端C點時的速度．分析質(zhì)點q在C點的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律和庫侖定律求出質(zhì)點滑到斜邊底端C點時加速度．

解答 解：
（1）點電荷Q在C處產(chǎn)生的電場的場強E=$k\frac{Q}{{L}^{2}}$，
（2、3）由題，BD⊥AC，O點是BC的中點，根據(jù)幾何知識得到B、C、D三點在以O(shè)為圓心的同一圓周上，三點在點電荷Q產(chǎn)生的電場中是等勢點，所以，q由D到C的過程中電場中電場力作功為零．
由動能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
而h=$BDsin60°=\frac{\sqrt{3}L}{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{{v}^{2}+\sqrt{3}gL}$．
質(zhì)點在D點受三個力的作用；電場F，方向由O指向D點；重力mg，方向豎直向下；支持力N，方向垂直于斜面向上．由牛頓第二定律，有
mgsin30°-Fcos30°=ma…①
質(zhì)點在C受三個力的作用；電場F，方向由O指向C點；重力mg，方向豎直向下；支持力N，方向垂直于斜面向上．由牛頓第二定律，有
mgsin30°+Fcos30°=ma_C…②
由①②得，a_C=g-a
答：（1）點電荷Q在C處產(chǎn)生的電場的場強為$k\frac{Q}{{L}^{2}}$；
（2）該質(zhì)點滑到斜面底端C點時的加速度為g-a；
（3）該質(zhì)點滑到斜面底端C點時的速度$\sqrt{{v}^{2}+\sqrt{3}gL}$．

點評 本題難點在于分析D與C兩點電勢相等，根據(jù)動能定理求速度、由牛頓第二定律求加速度都常規(guī)思路．