Question

質(zhì)量為m的機車頭拖著質(zhì)量均為m的n節(jié)車廂在平直軌道上以速度v勻速行駛，設(shè)機車頭和各節(jié)車廂受到的阻力均為f，行駛中后面有一節(jié)車廂脫落，待脫落車廂停止運動時后面又有一節(jié)車廂脫落，各節(jié)車廂按此方式依次脫落，整個過程中機車頭的牽引力保持不變，問：
（1）最后面一節(jié)車廂脫落后，機車頭和剩下的車廂的加速度是多大？
（2）最后面一節(jié)車廂脫落后，當它停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度是多大？
（3）全部車廂脫落并停止運動時，機車頭的速度是多大？

Answer 1

分析：（1）最后面一節(jié)車廂脫落后，根據(jù)牛頓第二定律求解機車頭和剩下的車廂的加速度．
（2）根據(jù)速度公式求出最后面一節(jié)車廂從脫落到停止運動的時間，再求解機車頭和剩下的車廂的速度．
（3）采用同樣的方法求出第二節(jié)車廂脫離、第三節(jié)車廂脫離…等等停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度，總結(jié)規(guī)律，得出全部車廂脫落并停止運動時，機車頭的速度．

解答：解：（1）最后面一節(jié)車廂脫落后，根據(jù)牛頓第二定律得
  機車頭和剩下的車廂的加速度a₁=

F-nf

nm

又由勻速運動時，F(xiàn)=（n+1）f，得
  a₁=

f

nm

（2）最后面一節(jié)車廂脫落后，加速度大小為a′=

f

m

最后面一節(jié)車廂從脫落到停止運動的時間為t₁=

v

a′

=

mv

f

，
則當它停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度v₁=v+a₁t₁=v+

f

nm

?

mv

f

=

1+n

n

v
（3）第二節(jié)車廂脫離：
v₂=v₁+a₂t₂=v1+

2f

(n-1)m

?

mv1

f

=

(1+n)v1

n-1

=

(1+n)2v

n(n-1)

第三節(jié)車廂脫離：
v₃=v₂+a₃t₃=v2+

3f

(n-2)m

?

mv2

f

=

(1+n)v2

n-2

=

(1+n)3v

n(n-1)(n-2)

…
同理可得：v_n=

(1+n)n

n(n-1)(n-2)…2?1

=

(1+n)nv

n!

答：
（1）最后面一節(jié)車廂脫落后，機車頭和剩下的車廂的加速度是

f

nm

．
（2）最后面一節(jié)車廂脫落后，當它停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度是

1+n

n

v．
（3）全部車廂脫落并停止運動時，機車頭的速度是

(1+n)nv

n!

．

點評：本題物理原理比較簡單，關(guān)鍵在于運用數(shù)學歸納法尋找規(guī)律，考查運用數(shù)學知識處理物理問題的能力．