Question

2．天文觀測到某行星有一顆以半徑r、周期T環(huán)繞該行星做圓周運動的衛(wèi)星，已知衛(wèi)星質(zhì)量為m，萬有引力常量為G．求：
（1）該行星的質(zhì)量M是多大？
（2）若該行星的半徑為R，則該行星的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出行星的質(zhì)量．
（2）根據(jù)行星表面萬有引力提供向心力求解第一宇宙速度v．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
得行星質(zhì)量$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
（2）在行星表面，萬有引力等于重力：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
聯(lián)立得：${v_1}=\frac{{2{π^{\;}}r}}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）該行星的質(zhì)量M是$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）若該行星的半徑為R，則該行星的第一宇宙速度是$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用，難度適中．