Question

17．如圖所示，在坐標(biāo)系第二象限內(nèi)有一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），磁場(chǎng)方向垂直xoy平面，在第一象限內(nèi)有場(chǎng)強(qiáng)大小為沿-軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在x軸上有坐標(biāo)（-2l₀，0）的P點(diǎn)，三個(gè)電子a、b、c以相同速率沿不同方向從P點(diǎn)同時(shí)射入磁場(chǎng)區(qū)域，其中電子b射入方向?yàn)閥軸正方向，a．c在P點(diǎn)速度與b速度方向夾角都是0=號(hào)．電子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都垂直于y軸進(jìn)人第一象限，電子b通過(guò)坐標(biāo)為（0，l₀）的Q點(diǎn)進(jìn)人第一象限，電子a、C進(jìn)人第一象限的時(shí)間差是t₀．已知三個(gè)電子離開(kāi)電場(chǎng)后都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)K（圖中未畫(huà)出）．電子質(zhì)量為m、電荷量為e，不計(jì)重力．
（1）判斷磁場(chǎng)方向的指向，求電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌道半徑R； 
（2）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)離y軸的最遠(yuǎn)距離d；
（3）求K點(diǎn)的坐標(biāo)和三個(gè)電子到達(dá)K點(diǎn)的時(shí)間差．

Answer 1

分析 （1）連接兩個(gè)圓心、入射點(diǎn)和出射點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形，得到當(dāng)圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑等于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑時(shí)，從磁場(chǎng)邊緣的一點(diǎn)向各個(gè)方向射出的粒子，偏轉(zhuǎn)后平行射出，由幾何關(guān)系得到軌道半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）電子進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）連接兩個(gè)圓心、入射點(diǎn)和出射點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形，得到當(dāng)圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑等于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑時(shí)，寬度與磁場(chǎng)直徑相等的粒子束經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后匯聚一點(diǎn)，然后作出三個(gè)粒子束的軌跡圖后進(jìn)行分析．

解答 解：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里．
由圖可知，R=l₀①
（2）設(shè)電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T，a、c離開(kāi)磁場(chǎng)后到達(dá)y軸時(shí)間是相等的，在磁場(chǎng)區(qū)中a轉(zhuǎn)過(guò)30°圓心角，時(shí)間t_a=$\frac{T}{12}$②
c轉(zhuǎn)過(guò)150°圓心角，時(shí)間t_c=$\frac{5T}{12}$③
t₀=t_b-t_a④
$T=\frac{2πm}{e{B}_{0}}$   ⑤
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有ev₀B₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$⑥
電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有-eEd=0-$\frac{1}{2}$mv₀²⑦
聯(lián)立以上方程解得d=$\frac{2{π}^{2}m{{l}_{0}}^{2}}{9eE{{t}_{0}}^{2}}$    ⑧
（3）電子離開(kāi)電場(chǎng)再次返回磁場(chǎng)軌跡如圖，K點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2l₀，2l₀）．
b先到達(dá)，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，a、c同時(shí)到達(dá)，與b比較磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間都是半個(gè)周期，電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間也都相等，所以時(shí)間差為磁場(chǎng)區(qū)域外與y軸之間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，a、c在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)的距離，由幾何關(guān)系求得都為$\frac{3{l}_{0}}{2}$，設(shè)a、b電子到達(dá)K點(diǎn)的時(shí)間差為△t，則
$△t=2（\frac{3{l}_{0}}{2{v}_{0}}-\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}）$⑨
解得△t=$\frac{3{t}_{0}}{2π}$   ⑩
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里．粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為l₀；
（2）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)離y軸的最遠(yuǎn)距離為$\frac{2{π}^{2}m{{l}_{0}}^{2}}{9eE{{t}_{0}}^{2}}$；
（3）K點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2l₀，2l₀），三個(gè)電子到達(dá)K點(diǎn)的時(shí)間差為$\frac{3{t}_{0}}{2π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，然后結(jié)合幾何關(guān)系并運(yùn)用洛倫茲力提供向心力列式求解．