Question

15．如圖，在豎直平面內(nèi)有一固定的光滑軌道ABCD，其中AB是長(zhǎng)為2R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的$\frac{3}{4}$圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)．在水平恒定拉力作用下，一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤除拉力．已知小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力大小恰好為零，重力加速度大小為g．求：
（1）小球在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的拉力F；
（2）小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB面所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，知彈力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在B點(diǎn)的速度大小，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求出拉力F．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出D點(diǎn)速度和到達(dá)地面的速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）小球在C點(diǎn)有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
小球在從A到B點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：$F•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：F=$\frac{5}{4}mg$
（2）設(shè)小球經(jīng)過(guò)圓軌道后返后回到AB面時(shí)的速度為v，則v=v_B
小球從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)B、C、到達(dá)D時(shí)的速度為v_D，對(duì)此過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理有：
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-0=F×2R-mgR$
可得：${v}_{D}=\sqrt{3gR}$
小球從D點(diǎn)下落，回到AB面所用的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，gt=v-v_D，
解得：t=$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）小球在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的拉力是$\frac{5}{4}mg$；
（2）小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB面所用的時(shí)間是$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒，運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，物體恰好通過(guò)C點(diǎn)是本題的突破口，這一點(diǎn)要注意把握，難度適中．