Question

11．如圖（俯視）所示，質(zhì)量為m、半徑為R的質(zhì)量分布均勻的圓環(huán)靜止在粗糙的足夠長(zhǎng)水平桌面上，一質(zhì)量為2m的光滑小球以v₀的水平速度通過(guò)環(huán)上的小孔正對(duì)環(huán)心射入環(huán)內(nèi)，與環(huán)發(fā)生第一次碰撞后到第二次碰撞前小球恰好不會(huì)從小孔穿出．若小球與環(huán)內(nèi)壁的碰撞為彈性碰撞，求：
（i）第一次剛碰撞完，小球和環(huán)各自的速度大��；
（ii）圓環(huán)最終通過(guò)的總位移．

Answer 1

分析 （1）小球與環(huán)內(nèi)壁發(fā)生彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合解答．
（2）小球恰好不會(huì)從小孔穿出，則第一次碰撞后，環(huán)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)t時(shí)間與小球速度大小相等，由此列式求時(shí)間，再由牛頓第二定律求出摩擦力，再由能量守恒求圓環(huán)最終通過(guò)的總位移．

解答 解：（i）設(shè)第一次剛碰撞完，小球和環(huán)各自的速度大小分別為v₁和v₂．
取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，有：
  2mv₀=2mv₁+mv₂
  $\frac{1}{2}$•2mv₀²=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=$\frac{1}{3}$v₀，v₂=$\frac{4}{3}$v₀
（ii）小球恰好不會(huì)從小孔穿出，則第一次碰撞后，環(huán)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t時(shí)間與小球速度大小相等，對(duì)此過(guò)程有
  $\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$•t=v₁t+2R          
解得：t=$\frac{4R}{v0}$
對(duì)環(huán)：a=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{t}$
解得：a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4R}$）
由牛頓第二定律得：圓環(huán)所受的摩擦力大小 f=ma
多次碰撞后，環(huán)和小球最終都靜止，根據(jù)能量守恒定律有
  fx=$\frac{1}{2}$•2mv₀²
解得：x=4R
答：
（i）第一次剛碰撞完，小球和環(huán)各自的速度大小分別為$\frac{1}{3}$v₀和$\frac{4}{3}$v₀；
（ii）圓環(huán)最終通過(guò)的總位移是4R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求位移，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量定理即可正確解題；分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可正確解題．