Question

平面直角坐標系xOy中，第1象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經x軸上的N點與x軸正方向成60°角射入磁場，最后從y軸負半軸上的P點與y軸正方向成60⁰角射出磁場，如圖所示．不計粒子重力，求
（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑R；
（2）粒子從M點運動到P點的總時間t；
（3）勻強電場的場強大小E．

Answer 1

分析：粒子在坐標軸第一象限做類平拋運動，已知類平拋的初速度v₀，和離開電場時的速度方向與x軸方向成60°角，根據類平拋運動規(guī)律，根據初速度可以求出粒子進入磁場的初速度v，粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應強度B，可得粒子做圓周運動的軌道半徑R；
粒子的運動分為兩部分，一是在第一象限內做類平拋運動，二是在第四象限內做勻速圓周運動，分段求出時間，相加可得總時間．在y軸方向上可以求得粒子的速度v，據v=at可以得出粒子的加速度a，由于是電場力產生加速度，故可以求出電場強度E．

解答：解：
（1）設粒子過N點時的速度為v，根據平拋運動的速度關系
v=

v0

cos60°

①
分別過N、P點作速度方向的垂線，相交于Q點，則Q是粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心，根據牛頓第二定律 qvB=

mv2

R

②
聯立①②解得軌道半徑 R=

2mv0

qB

③
（2）設粒子在電場中運動的時間為t₁，有 ON=v₀t₁ ④
由幾何關系得 ON=Rsin30°+Rcos30°⑤
聯立③④⑤解得 t₁=

(1+ 3 )m

qB

⑥
粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期 T=

2πm

qB

⑦
由幾何關系知∠NQP=150°，設粒子在磁場中運動的時間為t₂
t₂=

150°

360°

T⑧
聯立⑦⑧解得 t₂=

5πm

6qB

⑨
故粒子從M點運動到P點的總時間 t=t₁+t₂=（1+

3

+

5π

6

）

m

qB

⑩
（3）粒子在電場中做類平拋運動，設加速度為a，運動時間為t
由牛頓第二定律：qE=ma   （11）
設沿電場方向的分速度為v_y，
v_y=at（12）
粒子在電場中x軸方向做勻速運動，由圖根據粒子在磁場中的運動軌跡可以得出：
粒子在x軸方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v₀t  （13）
  又：v_y=v₀tan60°（14）
聯立（11）（12）（13）（14）可以解得E=

(3- 3 )v0B

2

    
答：（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑為

2mv0

qB

（2）粒子從M點運動到P點的總時間為（1+

3

+

5π

6

）

m

qB

（3）勻強電場的場強大小為

(3- 3 )v0B

2

點評：掌握平拋運動的處理方法并能運用到類平拋運動中，粒子在磁場中做勻速圓周運動，能正確的畫出運動軌跡，并根據幾何關系確定各量之間的關系．