Question

12．如圖所示，一半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m，帶電量為q的正粒子（不計(jì)重力）以速度為v從筒壁的A孔沿半徑方向進(jìn)入筒內(nèi)，設(shè)粒子與筒壁的碰撞無電量和能量的損失，那么要使粒子與筒壁連續(xù)碰撞，繞筒壁一周后恰好又從A孔射出，問：
（1）磁感強(qiáng)度B的大小必須滿足什么條件？
（2）粒子在筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）畫出軌跡，由幾何知識(shí)確定半徑，由牛頓第二定律求出速度大小；
（2）由幾何知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)中偏轉(zhuǎn)的圓心角，結(jié)合周期公式求出粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子射入圓筒后受洛倫茲力作用而偏轉(zhuǎn)，設(shè)第一次與B點(diǎn)碰撞，碰后速度方向又指向O點(diǎn)，假設(shè)粒子與筒壁碰撞n-1次，運(yùn)動(dòng)軌跡是n段相等的圓弧，再?gòu)腁孔射出，設(shè)第一段圓弧的圓心為O′，半徑為r（如圖），則：
θ=$\frac{2π}{2n}$=$\frac{π}{n}$，
由幾何關(guān)系有：r=Rtanθ，
又由r=$\frac{mv}{qB}$，
聯(lián)立解得：v=$\frac{{qBRtan\frac{π}{n}}}{m}$（n=3，4，5…）；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
弧$\widehat{AB}$所對(duì)的圓心角為：φ=π-2θ=$\frac{n-2}{n}$π，
粒子由A到B的時(shí)間：t′=$\frac{φ}{2π}$T=$\frac{n-2}{n}$$\frac{πm}{qB}$（n=3，4，5…），
故粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=nt′=$\frac{（n-2）πm}{Bq}$（n=3，4，5…）；
答：（1）選出粒子的速度大小為$\frac{{qBRtan\frac{π}{n}}}{m}$（n=3，4，5…）；
（2）粒子在筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{（n-2）πm}{Bq}$（n=3，4，5…）．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問題．