Question

9．如圖a所示，豎直平面內(nèi)固定間距為L的光滑金屬導(dǎo)軌，虛線下方存在垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B．兩根質(zhì)量相同、電阻均為R的完全相同金屬桿水平放置在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好．在磁場外固定桿Ⅰ，在磁場內(nèi)靜止釋放桿Ⅱ，其v-t關(guān)系如圖b所示．經(jīng)過時(shí)間t₀后認(rèn)為開始勻速運(yùn)動(dòng)，速度v₀．求：

（1）單根金屬桿質(zhì)量m．
（2）若以豎直向下的初速度2v₀釋放桿Ⅱ，釋放后其加速度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系與靜止釋放后相同，試在圖b中畫出t₀時(shí)間內(nèi)的v-t圖．
（3）桿Ⅱ勻速后，桿Ⅰ由靜止釋放，發(fā)現(xiàn)桿Ⅰ在磁場內(nèi)外都保持自由落體運(yùn)動(dòng)，則桿Ⅰ釋放位置離磁場上邊界多少高度？
（4）求在上問中，桿Ⅰ自靜止釋放后桿Ⅰ上共能發(fā)出多少熱量？

Answer 1

分析 （1）由圖b知金屬桿先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件求解m．
（2）分析清楚桿的運(yùn)動(dòng)情況，然后作出圖象．
（3）根據(jù)桿的運(yùn)動(dòng)情況判斷其受力情況，然后應(yīng)用自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析答題．
（4）由焦耳定律求出桿上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）桿Ⅱ勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)處于平衡狀態(tài)，
桿受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$
由平衡條件得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$，解得：$m=\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{2gR}$；
（2）以豎直向下的初速度2v₀釋放桿Ⅱ，
開始桿受到的安培力大于重力，桿先作減速運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)桿的速度為v₀時(shí)，受到的安培力與重力相等時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
由題意可知，釋放后其加速度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系與靜止釋放后相同，
則桿的v-t圖象關(guān)于y=v₀與由靜止靜止釋放時(shí)的圖象對稱，圖象如圖所示：

（3）桿Ⅰ進(jìn)入磁場后仍保持自由落體，則其進(jìn)入磁場時(shí)不受安培力作用，
電路沒有感應(yīng)電流，兩桿及軌道組成的回路磁通量不再變化，
桿Ⅰ的速度應(yīng)和桿Ⅱ相同，即桿進(jìn)入磁場時(shí)的速度為：v₀，
桿在進(jìn)入磁場前做自由落體運(yùn)動(dòng)，桿下落時(shí)的高度：$h=\frac{v_0^2}{2g}$；
（4）桿Ⅰ發(fā)熱過程在磁場外，桿進(jìn)入磁場后電路沒有電流，不產(chǎn)生熱量，則桿產(chǎn)生的熱量：$Q={I^2}Rt=\frac{{{B^2}{L^2}v_0^2}}{{4{R^2}}}×R×\frac{v_0}{g}=\frac{{{B^2}{L^2}v_0^3}}{4Rg}$；
答：（1）單根金屬桿質(zhì)量m為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2gR}$．
（2）v-t圖象如圖所示．
（3）桿Ⅰ釋放位置離磁場上邊界多少高度為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．
（4）桿Ⅰ自靜止釋放后桿Ⅰ上共能發(fā)出的熱量為：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{3}}{4gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)力學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，分析清楚金屬桿的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用安培力公式、平衡條件、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與焦耳定律即可正確解題．