Question

1．某人造地球衛(wèi)星在赤道上空飛行，衛(wèi)星的軌道平面與地球赤道平面重合，軌道半徑為r且小于同發(fā)衛(wèi)星的軌道半徑，飛行方向與地球的自轉方向相同．設地球的自轉角速度為ω₀，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）求衛(wèi)星繞地球運動的角速度．
（2）當衛(wèi)星通過位于厄瓜多爾的赤道碑（如圖所示）上方時開始計時，則該衛(wèi)星至少經(jīng)過多長時間將再次經(jīng)過赤道碑上空？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面重力等于萬有引力列式；衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，再次列式；聯(lián)立求解即可；
（2）衛(wèi)星下次通過該建筑物上方時比地球多轉動一圈．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$…①
在地球表面附近物體重力等于萬有引力，則
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$…②
聯(lián)立①②得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$
（2）衛(wèi)星時間t將再次經(jīng)過赤道碑上空，則有：
$ωt-{ω}_{0}^{\;}t=2π$
得：$t=\frac{2π}{ω-{ω}_{0}^{\;}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）衛(wèi)星繞地球運動的角速度$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$．
（2）當衛(wèi)星通過位于厄瓜多爾的赤道碑（如圖所示）上方時開始計時，則該衛(wèi)星至少經(jīng)過時間$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$將再次經(jīng)過赤道碑上空

點評 本題關鍵抓住萬有引力提供向心力和地球表面重力等于萬有引力列方程求解，同時明確勻速圓周運動中多轉動一圈是多轉動2π弧度．