Question

16．如圖所示，坐標(biāo)空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種場(chǎng)的分界線，圖中虛線為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)位置（-1，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與y軸的夾角為45°（重力不計(jì)）．試求：
（1）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的加速度和初速度v的大小
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大��？
（3）若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）（2）粒子在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力的方向向上，粒子做的事類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做的是勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從而可以求得帶電粒子運(yùn)動(dòng)到Y(jié)軸上時(shí)的速度；
（3）當(dāng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與磁場(chǎng)的有邊沿相切時(shí)，此時(shí)的磁場(chǎng)的寬度最大，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡可以求得磁場(chǎng)的寬度最大值

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
加速度：$a=\frac{Eq}{m}$，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與y軸的夾角為45°，豎直速度V_y=at=v₀，解得：$t=\frac{{v}_{0}}{a}$
水平位移L=V₀t，帶入時(shí)間得：$L={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{Eq}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{ELq}{m}}$=$\sqrt{\frac{Eq}{m}}$，
（2）由以上各式得進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的合速度為
$v=\sqrt{2}{v}_{0}=\sqrt{\frac{2ELq}{m}}$=$\sqrt{\frac{2Eq}{m}}$，
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{m\sqrt{\frac{ELq}{m}}}{Bq}=\frac{1}{B}\sqrt{2ELqm}$=$\frac{1}{B}\sqrt{2Eqm}$，
與右邊界相切時(shí)，由幾何關(guān)系得Rsin45°+R=d，
解得：$d=（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）R$，

故磁場(chǎng)的寬度最大為d=$\frac{（\sqrt{2}+2）\sqrt{2Emq}}{2Bq}$．
答：（1）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的加速度為$\frac{Eq}{m}$，初速度v的大小為$\sqrt{\frac{Eq}{m}}$，
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為$\sqrt{\frac{2Eq}{m}}$，
（3）若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足的條件為$d=\frac{（\sqrt{2}+2）}{2B}\sqrt{2Emq}$$\frac{（\sqrt{2}+2）\sqrt{2Emq}}{2Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．