Question

【題目】如圖所示，光滑導(dǎo)體軌道PMN和P'M'N'是兩個(gè)完全一樣軌道，是由半徑為r的四分之一圓弧軌道和水平軌道組成，圓弧軌道與水平軌道在M和M'點(diǎn)相切，兩軌道并列平行放置，MN和M'N'位于同一水平面上，兩軌道之間的距離為L，PP'之間有一個(gè)阻值為R的電阻，開(kāi)關(guān)S是一個(gè)感應(yīng)開(kāi)關(guān)(開(kāi)始時(shí)開(kāi)關(guān)是斷開(kāi)的)，矩形區(qū)域MNN'M'內(nèi)有豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，水平軌道MN離水平地面的高度為h．金屬棒a和b質(zhì)量均為m、電阻均為R．在水平軌道某位置放上金屬棒b，靜止不動(dòng)，a棒從圓弧頂端PP'靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑，若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時(shí)，兩棒距離．兩棒速度穩(wěn)定之后，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，b棒離開(kāi)軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，在b棒離開(kāi)軌道瞬間，開(kāi)關(guān)S閉合．不計(jì)一切摩擦和導(dǎo)軌電阻，已知重力加速度為g．求：

（1）兩棒速度穩(wěn)定時(shí)，兩棒的速度分別是多少？

（2）兩棒落到地面后的距離是多少？

（3）整個(gè)過(guò)程中，兩棒產(chǎn)生的焦耳熱分別是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）a棒沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)M時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得：

解得a棒沿圓弧軌道最低點(diǎn)M時(shí)的速度

a棒向b棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量變小，產(chǎn)生感應(yīng)電流。a棒受到與其運(yùn)動(dòng)方向相反的安培力而做減速運(yùn)動(dòng)，b棒則在安培力的作用下向右做加速運(yùn)動(dòng)。只要a棒的速度大于b棒的速度，回路總有感應(yīng)電流，a棒繼續(xù)減速，b棒繼續(xù)加速，直到兩棒速度相同后，回路面積保持不變，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)。

從a棒進(jìn)入水平軌道開(kāi)始到兩棒達(dá)到相同速度的過(guò)程中，兩棒在水平方向受到的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩棒的總動(dòng)量守恒。

由動(dòng)量守恒定律得：

解得兩棒以相同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)的速度

（2）經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，b棒離開(kāi)軌道后，a棒與電阻R組成回路，從b棒離開(kāi)軌道到a棒離開(kāi)軌道過(guò)程中a棒受到安培力的沖量

由動(dòng)量定理：

解得

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：兩棒落到地面后的距離

（3）b棒離開(kāi)軌道前，兩棒通過(guò)的電流大小總是相等，兩棒產(chǎn)生的焦耳熱相等

由能量守恒定律可知：

解得：

b棒離開(kāi)軌道后，a棒與電阻R通過(guò)的電流大小總是相等，兩都產(chǎn)生的焦耳熱相等

由能量守恒定律可知：

解得：

所以整個(gè)過(guò)程中，a棒產(chǎn)生的焦耳熱