Question

19．如圖所示，在無限長的水平邊界AB和CD間有一勻強電場，同時在AEFC、BEFD區(qū)域分別存在水平向里和向外的勻強磁場，磁感應強度大小相同，EF為左右磁場的分界線．AB邊界上的P點到邊界EF的距離為（2+$\sqrt{3}$）L．一帶正電微粒從P點的正上方的O點由靜止釋放，從P點垂直AB邊界進入電、磁場區(qū)域，且恰好不從AB邊界飛出電、磁場．已知微粒在磁場中的運動軌跡為圓弧，重力加速度大小為g，電場強度大小E（E未知）和磁感應強度大小B（B未知）滿足$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，不考慮空氣阻力，求：
（1）微粒在磁場中運動的半徑多大；
（2）O點距離P點的高度h多大；
（3）若微粒從O點以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平拋，且恰好垂直下邊界CD射出電、磁場，則微粒在這個過程中運動的最短時間t多長．

Answer 1

分析 （1）微粒帶電量為q、質(zhì)量為m，微粒在磁場中運動速率v₁時恰好與AB相切，畫出運動軌跡，根據(jù)幾何關系求解半徑；
（2）微粒在進入電磁場前做勻加速直線運動，在電磁場中做勻速圓周運動，應用牛頓第二定律與動能定理可以求出O到P的距離；
（3）微粒在進入電磁場前做平拋運動，在電磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)微粒做圓周運動的周期公式求出微粒的運動時間．

解答 解：（1）微粒帶電量為q、質(zhì)量為m，微粒在磁場中運動速率v₁時恰好與AB相切，如圖甲所示，O₁、O₂為微粒運動的圓心，O₁O₂與豎直方向夾角為θ，由幾何知識知
sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
微粒半徑r₁，由幾何關系有r₁+r₁sinθ=$（2+\sqrt{3}）L$，得r₁=2L．
（2）微粒軌跡為圓弧，有qE=mg．
由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
由動能定理有$mgh=\frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}$
已知$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，得h=$\frac{L}{2}$

（3）微粒平拋到AB邊界上的M點的時間為t₁，水平距離x₁，由運動學公式有
x₁=v₀t₁，$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入v₀=$\sqrt{3gL}$、h=$\frac{L}{2}$，得t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$、x₁=$\sqrt{3}L$．
微粒在M點時豎直分速度v₁=$\sqrt{gL}$，速度為v=2$\sqrt{gL}$、與AB夾角為θ=30°．
做圓周運動的半徑${r}_{2}=\frac{mv}{Bq}=\frac{E}{B}•\frac{v}{g}=2\sqrt{gL}•\frac{2\sqrt{gL}}{g}$=4L．
由幾何關系知微粒從M點運動30°垂直到達EF邊界．
微粒在磁場中運動周期T=2π$\frac{{r}_{2}}{v}$=$4π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$．
由題意有微粒運動時間t₂=$\frac{1}{3}$T=$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$   
微粒運動時間t=t₁+t₂=$（\frac{4π}{3}+1）\sqrt{\frac{L}{g}}$
答：（1）微粒在磁場中運動的半徑為2L；
（2）O點距離P點的高度h為$\frac{L}{2}$；
（3）若微粒從O點以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平拋，且恰好垂直下邊界CD射出電、磁場，則微粒在這個過程中運動的最短時間為$（\frac{4π}{3}+1）\sqrt{\frac{L}{g}}$．

點評 本題考查了求距離、微粒的運動時間問題，分析清楚微粒運動過程，應用動能定理、牛頓第二定律、平拋運動規(guī)律即可正確解題．