Question

（2012?昆山市模擬）如圖所示，兩塊平行金屬板M、N正對(duì)著放置，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點(diǎn)共線，它們的連線垂直M、N，且s₂O=R..以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)同時(shí)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)．D為收集板，板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線垂直M、N板．質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過(guò)s₂進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域，然后沿直線打到光屏P上的s₃點(diǎn)．粒子在s₁處的速度和粒子所受的重力均不計(jì)．求：
（1）M、N兩板間的電壓為U；
（2）撤去圓形區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)后，當(dāng)M、N間的電壓改為U₁時(shí)，粒子恰好垂直打在收集板D的中點(diǎn)上，求電壓U₁的值及粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）撤去圓形區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)后，改變M、N間的電壓時(shí)，粒子從s₂運(yùn)動(dòng)到D板經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子在電磁場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)，則粒子所受電場(chǎng)力與磁場(chǎng)力合力為零，求出粒子的速度，粒子在MN間做加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以求出加速電場(chǎng)電壓．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

1

4

圓弧，軌跡半徑等于R，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求解M、N間的電壓．
（3）粒子從s₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t等于在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間和穿出磁場(chǎng)后勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和．M、N間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越大，在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越短，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，在磁場(chǎng)中粒子磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)角度越小，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越短，出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短，故當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最短．根據(jù)幾何知識(shí)求出打在D的右端時(shí)軌跡半徑，根據(jù)前面的結(jié)果求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出三段時(shí)間．

解答：解：（1）正粒子沿直線打到P板上的s₃點(diǎn)，可知：qv₀B=qE，
粒子在M、N間的加速，由動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mv₀²-0，
解得：U=

mE2

2qB2

；
（2）粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R由牛頓第二定律可知：qv₁B=m

v 2 1

R

，
由牛頓第二定律得：qU₁=

1

2

mv₁²-0，解得：U₁=

qB2R2

2m

，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

1

4

周期，由T=

2πR

v1

，解得t=

πm

2qB

；
（3）M、N間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越大，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越短，
出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短，所以當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最短．
根據(jù)幾何關(guān)系可以求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r=

3R

，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁=

T

6

=

πm

3qB

，
由牛頓第二定律得：qv₂B=m

v 2 2

r

，
粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：t₂=

T

v2

=

3m

3qB

；
粒子經(jīng)過(guò)s₂后打在D上t的最小值t_min=t₁+t₂=

m

3qB

（π+

3

）；
答：（1）M、N兩板間的電壓為U=

mE2

2qB2

；
（2）電壓U₁=

qB2R2

2m

，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

πm

2qB

；
（3）t的最小值為

m

3qB

（π+

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分析和處理粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡問(wèn)題，難點(diǎn)在于分析時(shí)間的最小值，也可以運(yùn)用極限分析法分析．