Question

6．圖甲中A和B表示在真空中相距為d的兩平行金屬板．加上電壓后，他們之間的電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)；圖乙表示一周期性的交變電壓的波形，橫軸代表時(shí)間t，縱軸代表電壓U _AB，從t=0開(kāi)始，電壓為給定值U ₀，經(jīng)過(guò)半個(gè)周期，突然變?yōu)?U ₀ …．如此周期地交替變化．在t=0時(shí)刻將上述交變電壓U _AB 加在A、B兩極上．電子質(zhì)量為m，電荷量為e．

（1）在t=0時(shí)刻，在B的小孔處無(wú)初速地釋放一電子，在t=$\frac{3T}{4}$時(shí)該電子的速度大�。�（設(shè)一個(gè)周期內(nèi)電子不會(huì)打到板上，T作為已知量）
（2）試問(wèn)在t等于哪些時(shí)刻釋放上述電子，在一個(gè)周期時(shí)間，該電子剛好回到出發(fā)點(diǎn)？試說(shuō)明理由并求出電源頻率應(yīng)具備的條件．
（3）在t=0時(shí)刻，在B的小孔處無(wú)初速地釋放一電子，要想使這電子到達(dá)A板時(shí)的速度最�。�為零），則所加交變電壓的周期為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和速度時(shí)間公式結(jié)合求電子的速度大�。�
（2）在t=nT+$\frac{T}{4}$時(shí)刻釋放電子，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，在t=$\frac{5T}{4}$時(shí)刻，電子剛回到出發(fā)點(diǎn)．抓住前半個(gè)周期內(nèi)內(nèi)的位移小于等于d，求出頻率的大小．
（3）在B的小孔處無(wú)初速地釋放一電子，要想使這電子到達(dá)A板時(shí)的速度最�。�零），則電子應(yīng)該在t=nT（n=1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)A板，結(jié)合位移時(shí)間公式，運(yùn)用牛頓第二定律求出周期．

解答 解：（1）在t=0時(shí)刻，在B的小孔處無(wú)初速度地釋放一電子，電子在兩極板間的v-t圖象如圖2-J所示．
在U₀電壓作用下，電子的加速度 a=$\frac{e{U}_{0}}{md}$ ①
在$\frac{T}{2}$時(shí)刻電子速度 v_m=a$•\frac{T}{2}$=$\frac{e{U}_{0}T}{2md}$ ②
t=$\frac{3T}{4}$時(shí)該電子的速度大小 v₁=vm-a$\frac{T}{4}$=$\frac{e{U}_{0}T}{4md}$
（2）根據(jù)速度圖象與橫軸所夾的面積表示位移可知，在t（n+$\frac{1}{4}$）T（n=1，2，3，…）時(shí)刻釋放的電子，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，電子剛好回到出發(fā)點(diǎn)
電源具備的條件是在半個(gè)周期即從$\frac{T}{4}$～$\frac{3}{4}T$時(shí)間內(nèi)，電子的位移不大于 d，即有
  2$•\frac{1}{2}a（\frac{T}{4}）^{2}$≤d
可得 T≤$\sqrt{\frac{16mkhtgfmy^{2}}{e{U}_{0}}}$
則頻率f≥$\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{16mxvkwvcj^{2}}}$
（3）由電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況及速度變化情況可知：要求電子到達(dá)A板的速度為零，則電子應(yīng)在t=nT（n=1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)A板，電子在每個(gè)$\frac{T}{2}$內(nèi)通過(guò)的位移為
  x=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{4}）^{2}$ ③
依題意知 d=n•（2x）
聯(lián)立①③④解得  T=$\sqrt{\frac{4mdmygihe^{2}}{ne{U}_{0}}}$（n=1，2，3，…）
答：
（1）在t=0時(shí)刻，在B的小孔處無(wú)初速地釋放一電子，在t=$\frac{3T}{4}$時(shí)該電子的速度大小為$\frac{e{U}_{0}T}{4md}$．
（2）在t（n+$\frac{1}{4}$）T（n=1，2，3，…）時(shí)刻釋放的電子，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，電子剛好回到出發(fā)點(diǎn)．電源頻率應(yīng)具備的條件是：f≥$\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{16mgprlxwt^{2}}}$．
（3）在t=0時(shí)刻，在B的小孔處無(wú)初速地釋放一電子，要想使這電子到達(dá)A板時(shí)的速度最小（為零），則所加交變電壓的周期為$\sqrt{\frac{4mglxronr^{2}}{ne{U}_{0}}}$（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．