Question

7．如圖（a）所示，平行長直導(dǎo)軌MN、PQ水平放置，兩導(dǎo)軌間距L=0.5m，導(dǎo)軌左端M、P 間接有一阻值R=0.2Ω的定值電阻，導(dǎo)體棒ab質(zhì)量m=0.1kg，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌放在距離左端為d=1.0m處，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒始終接觸良好，電阻均忽略不計(jì)．整個(gè)裝置處在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場中，t=0時(shí)刻，磁場方向豎直向下，此后，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化如圖（b）所示，不計(jì)感應(yīng)電流磁場的影響．取重力加速度g=10m/s²．

（1）求t=0時(shí)棒所受到的安培力F₀；
（2）分析前3s時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況并求前3s內(nèi)棒所受的摩擦力f隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（3）若t=3s時(shí)，突然使ab棒獲得向右的速度v₀=8m/s，同時(shí)垂直棒施加一方向水平、大小可變化的外力F，使棒的加速度大小恒為a=4m/s²、方向向左．求從t=3s到t=4s的時(shí)間內(nèi)通過電阻的電量q．

Answer 1

分析 （1）由圖b的斜率求出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，即可求得安培力的大小．
（2）前3s內(nèi)ab棒不動(dòng)，在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，由平衡條件和安培力公式求解．
（3）t=3s后，ab棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出t=3s到t=4s的時(shí)間內(nèi)棒通過的位移，再由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式結(jié)合求解電量．

解答 解：（1）由圖b知：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{0.2}{2}$=0.1T/s
t=0時(shí)棒的速度為零，故回路中只有感生感應(yīng)勢為：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$Ld=0.1×0.5×1V=0.05V
 感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.05}{0.2}$A=0.25A
可得t=0時(shí)棒所受到的安培力：F₀=B₀IL=0.025N；

（2）ab棒與軌道間的最大摩擦力：f_m=μmg=0.1×0.1×10N=0.1N＞F₀=0.025N
所以在t=0時(shí)刻棒靜止不動(dòng)，加速度為零，這以后磁感應(yīng)強(qiáng)度B都小于B₀，棒所受的安培力都小于最大靜摩擦力，故前3s內(nèi)導(dǎo)體棒靜止不動(dòng)，電流恒為I=0.25A
在0-3s內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B=B₀-kt=0.2-0.1t
因?qū)�體棒靜止不動(dòng)，ab棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，有：
 f=BIL=（B₀-kt）IL=（0.2-0.1t）×0.25×0.5N=0.0125（2-t）N（t＜3s）；

（3）3s-4s內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為 B₂=0.1T，ab棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，△t₂=4s-3s=1s
設(shè)t=4s速度大小為v，位移為x，則：v=v₀-a△t=4m/s
x=$\frac{{v}_{0}+v}{2}△$t=6m
在這段時(shí)間內(nèi)的平均電動(dòng)勢為：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△{t}_{2}}$
通過電阻的電量為：q=$\overline{I}△{t}_{2}$=$\frac{\overline{E}}{R}△{t}_{2}$=$\frac{{B}_{2}Lx}{R}$=1.5C．
答：
（1）t=0時(shí)棒所受到的安培力F₀是0.025N．
（2）前3s內(nèi)導(dǎo)體棒靜止不動(dòng)，前3s內(nèi)棒所受的摩擦力f隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為f=0.0125（2-t）N（t＜3s）．
（3）從t=3s到t=4s的時(shí)間內(nèi)通過電阻的電量q是1.5C．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒的受力情況和能量轉(zhuǎn)化的情況，熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，感應(yīng)電量與磁通量變化的關(guān)系，正確把握功和能的關(guān)系．