1．填空題的考查功能大體上與選擇題的考查功能相當

同選擇題一樣，要真正發(fā)揮好填空題的考查功能，同樣要群體效應。但是，由于填空題的應答速度難以追上選擇題的應答速度，因此在題量的使用上，難免又要受到制約。從這一點看，一組好的填空題雖然也能在較大的范圍內考查基礎知識、基本技能和基本思想方法，但在范圍的大小和測試的準確性方面填空題的功能要弱于選擇題。不過，在考查的深入程度方面，填空題要優(yōu)于選擇題。作為數(shù)學填空題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，應答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷，幾乎沒有間接方法可言，更是無從猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，難有虛假，因而考查的深刻性往往優(yōu)于選擇題。但與解答題相比其考查的深度還是差得多。就計算和推理來說，填空題始終都是控制在低層次上的。

同選擇題一樣，填空題也屬小題，其解題的基本原則是“小題不能大做”。解題的基本策略是：巧做。解題的基本方法一般有：直接求解法，圖像法和特殊化法(特殊值法，特殊函數(shù)法，特殊角法，特殊數(shù)列法，圖形特殊位置法，特殊點法，特殊方程法，特殊模型法)等。

例題解析

[例1]　 已知數(shù)列{a_n}、{b_n}都是等差數(shù)列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、S′_k、分別表示數(shù)列{a_n}、{b_n}的前k項和(k是正整數(shù))，若S_k+S′_k =0，則a_k+b_k的值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 法一　 直接應用等差數(shù)列求和公式S_k=，得+=0，又a₁+b₁= -4, ∴a_k+b_k=4。

法二　 由題意可取k=2(注意：k≠1，為什么？)，于是有a₁+a₂+b₁+b₂=0，因而a₂+b₂=4,即a_k+b_k=4。

[例2]　 乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽。3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有　　　　　　　　 種(用數(shù)字作答)。

[解]　 三名主力隊員的排法有P₃³種，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置上有P₇²種排法，故共有排法數(shù)A₃³A₇²=252種。

[例3]　 如圖14-1，E、F分別為正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是　　　　　　　　　　　　　　　　 (要求：把可能的圖的序號都填上)。

[解]　 正方體共有3 組對面，分別考察如下：(1)四邊形BFD₁E在左右一組面上的射影是圖③。因為B點、F點在面AD₁上的射影分別是A點、E點。(2)四邊形BFD₁E在上下及前后兩組面上的射影是圖②。因為D₁點、E點、F點在面AC上的射影分別是D點、AD中點、BC中點；B點、E點、F點在面DC₁上的射影分別是C點、DD₁的中點、CC₁的中點。故本題答案為②③。

[例4]　 已知拋物線的焦點坐標為F(2,1)，準線方程為2x+y=0，則其頂點坐標為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 。

[解]　 過焦點F(2,1)作準線的垂線段，由解幾何知識可得拋物線頂點為垂線段的中點。又由于準線的斜率k= -2,k_OF=，∴O為垂足，從而易得OF的中點，即頂點為(1, )。

[例5]　 老師給出一個函數(shù)y=f(x)，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質：

甲：對于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x)　　　　　　　　　　　　　　　　　 乙：在 (-∞,0上函數(shù)遞減

丙：在(0,+∞)上函數(shù)遞增　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?。篺(0)不是函數(shù)的最小值

如果其中恰有三人說得正確，請寫出一個這樣的函數(shù)　　　　　　　　　 。

[解]　 由題意知，以甲、乙、丙、丁四個條件中任意三個為一組條件，寫出符合條件的一個函數(shù)最可。例如同時具備條件甲、乙、丁的一個函數(shù)為y=(x-1)²。

[例6]　 若-=1，則sin2θ的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ　 ①

令sin2θ=t，則①式兩邊平方整理得t²+4t-4=0，解之得t=2-2。

[例7]　 已知z₁=3+4i,z₂= -2-5i,則arg()=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 將z₁=3+4i,z₂= -2-5i代入整理得=3i，故arg()=。

[例8]　 若(+)ⁿ展開式中的第5項為常數(shù)，則n=　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 由T_r+1=C_n^r()^n-r()^r=C_n^r2^rx及題意可知，當r=4時，n-3r=0，∴n=12。

[例9]　 若關于x的方程=k(x-2)有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 令y₁=,y₂=k(x-2),由圖14-3可知k_AB<k≤0，其中AB為半圓的切線，計算k_AB= -,∴-<k≤0。

[例10]　 已知兩點M(0,1),N(10,1) ，給出下列直線方程

①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直線上存在點P滿足|MP|=|NP|+6的所有直線方程的序號是　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 由|MP|=|NP|+6可知，點P的軌跡是以M(0，1)，N(10，1)為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，其方程為-=1，(x≥5)。本題實質上可轉化為考察所給直線與雙曲線的右支有無交點問題，結合圖形判斷，易得(2)(3)直線與雙曲線的右支有交點。

[例11]　 點P(x,y)是曲線C：(θ為參數(shù)，0≤θ<π)上任意一點，則的取值范圍是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 曲線C的普通方程為(x+2) ² +y²=1(y≥0)，則可視為P點與原點O連線的斜率，結合圖形(14-4)判斷易得的取值范圍是[-，0]。

1.特殊值法

[例12]　 設a>b>1，則log_ab,log_ba,log_abb的大小關系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 考慮到三個數(shù)的大小關系是確定的，不妨令a=4,b=2，則log_ab=,log_ba=2,log_abb=,

∴l(xiāng)og_abb<log_ab<log_ba

2．特殊函數(shù)法

[例13]　 如果函數(shù)f(x)=x²+bx+c對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關系是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2?？扇√厥夂瘮?shù)f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

3．特殊角法

[例14]　 cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 本題的隱含條件是式子的值為定值，即與α無關，故可令α=0°，計算得上式值為。

[例15]　 已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數(shù)列，則的值是　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 考慮到a₁,a₃,a₉的下標成等比數(shù)列，故可令a_n=n滿足題設條件，于是=。

5．圖形特殊位置法

[例16]　 已知SA，SB，SC兩兩所成角均為60°，則平面SAB與平面SAC所成的二面角　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 。

[解]　 取SA₁=SB₁=SC₁，將問題置于正四面體中研究，不難得平面SAB與平面SAC所成的二面角為arccos。

6．特殊點法

[例7]　 橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 設P(x,y)，則當∠F₁PF₂=90°時，點P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點P的橫坐標x=±，又當點P在x軸上時，∠F₁PF₂=0；點P在y軸上時，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-<x<。

7．特殊方程法

[例18]　 直線l過拋物線y²=a(x+1)(a>0)的焦點，并且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a=　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 ∵拋物線y²=a(x+1)與拋物線y²=ax具有相同的垂直于對稱軸的焦點弦長，故可用標準方程y²=ax替換一般方程y²=a(x+1)求解，而a值不變。由通徑長公式得a=4。

8．特殊模型法

[例19]　 已知m,n是直線，α、β、γ是平面，給出下列是命題：

①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

②若n⊥α，n⊥β，則α∥β；

③若α內不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，則α∥β；

⑤若m,n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,則α∥β；

則其中正確的命題是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。(把你認為正確的命題序號都填上)。

[解]　 依題意可構造正方體AC₁，如圖14-5，在正方體中逐一判斷各命題易得正確命題的是②⑤。

　　　　　

　

[例20]　 如圖14-6，點P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解]　 根據(jù)題意可將右圖補形成一正方體，在正方體中易求得60°。

本周強化練習：

跟蹤練習

1．設等差數(shù)列{a_n}共有3n項，它的前2n項之和是100，后2n項之和是200，則該等差數(shù)列的中間n項之和等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

2．設{a_n}是首項為1的正項數(shù)列，且(n+1)a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0(n=1,2,3，…)，則它的通項公式是a_n=　　　　　　　　　　 　　　　　　 。

3．從7盆不同的盆花中選出5盆擺放在主席臺前，其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 種不同的擺放方法(用數(shù)字作答)

4．將正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后，異面直線AB與CD所成角的大小是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 。

5．拋物線x²-8x-4y+c=0 焦點在x軸上，則常數(shù)c=　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

6．將1，2，3，4，5，6，7，8，9，這九個數(shù)排成三橫三縱的方陣，要求每一列的三個數(shù)從前到后都是由小到大排列，則不同的排法種數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (用數(shù)字作答)。

7．已知三棱錐的一條棱長為1，其余各棱長皆為2，則此三棱錐的體積為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

8．已知三個不等式：

①ab>0,②-<-,③bc>ad

以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 個正確的命題。

9．設函數(shù)f(x)的反函數(shù)為h(x)，函數(shù)g(x)的反函數(shù)為h(x+1)，已知f(2)=5,f(5)= -2,f(-2)=8，那么g(2),g(5),g(8),g(-2)中，一定能求出具體數(shù)值的是　　　　　　　　　　　　 。

10．A點是圓C：x²+y²+ax+4y-5=0上任意一點，A點關于直線x+2y-1=0的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a=　　　　 　　　　　　　　　　　　 。

11．已知向量a與向量b的夾角為60°，且|a|=3,|b|=2,c=3a+5b,d=ma-3b，若c與d垂直，則m的值為　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 。

12．某橋的橋洞呈拋物線形(如圖14-7)橋下水面寬16米，當水面上漲2米后達到警戒水位，水面寬變?yōu)?2米，此時橋洞頂部距水面高度為　　　　　　　　　　　　　　　　 米。(精確到0.1米)

13．以橢圓+=1的中心O為頂點，以橢圓的左準線l₁為準線的拋物線與橢圓的右準線l₂交于A、B兩點，則|AB|的值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

14．已知sinαcosα=,α∈(,)，則cosα-sinα的值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

15．已知橢圓+=1與雙曲線-=1(m,n,p,q∈{x|x是正實數(shù)集})，有共同的焦點F₁、F₂，P是橢圓和雙曲線的一個交點，則|PF₁|.|PF₂|=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

16．函數(shù)y=sinxcosx+cos²x-的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

17．參數(shù)方程(θ是參數(shù))所表示的曲線的焦點坐標是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

18．(1+x)⁶(1-x)⁴展開式中x³的系數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

19．已知tanα=2,tan(α-β)= -，那么tanβ=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

20．不等式3<()^x-2的解集為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

21．一個球自12米高的地方自由下落，觸地面后的回彈高度是下落高度的，到停止在地面上為止，則球運動的路程總和是　　　　　　　　　　　　　　　　 米。

22．已知a、b、c、d是四條互不重合的直線，且c、d分別為a、b在平面α上的射影，給出下面兩組四個論斷：

第一組：①a⊥b,②a∥b;

第二組：③c⊥d,④c∥d。

分別從兩組中各選一個論斷，使一個作條件，另一個作結論，寫出一個正確的命題：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

23．函數(shù)y=f(x)的圖像與y=2^x的圖像關于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f(4x-x²)的遞增區(qū)間是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 。

24．已知α=arcsin(-)，則sin的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

25．過拋物線y²=4x的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于P、Q兩點，O是坐標原點，則△OPQ的面積等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

26．一個三棱錐的三個側面中有兩個是等腰直角三角形，另一個是邊長為1的正三角形，這樣的三棱錐體積為　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (寫出一個可能值)。

27．從5名禮儀小姐、4名翻譯中任選5名參加一次經(jīng)貿(mào)洽談活動，其中禮儀小姐、翻譯均不少于2人的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

28．定義在(-∞，+∞)上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關于f(x)的判斷：

①f(x)是周期函數(shù)；

②f(x)的圖像關于直線x=1對稱；

③f(x)在[0，1]上是增函數(shù)；

④f(x)在[1，2]上是減函數(shù)；

⑤f(2)=f(0)。

其中正確的判斷是　　　　　　　　　　 (把你認為正確的判斷都填上)。

29．求值：=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

30．復數(shù)z₁=2+i, z₂=1-i,復數(shù)z=，則|z|=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

31．已知正四棱柱的體積為定值V，則它的表面積的最小值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

32．已知下列曲線：

以及編號為①②③④的四個方程 ：

①-=0　　　 　　　　　　 ②|x|-|y|=0　　　　 ③x-|y|=0　　　　　 ④|x|-y=0

請按曲線ABCD的順序，依次寫出與之相對應的方程的編號：　　　　　　　　　　　　 。

33．已知A、B、C、D為同一球面上的四點，且連接每兩點間的線段長都等于2，則球心O到平面BCD的距離等于　　　　　　　　　　 。

34．過點M(0，4)、被圓(x-1) ² +y²=4截得的線段為2的直線方程為　　　　　　　　　　　　　　　　 。

35．數(shù)列{a_n}滿足a₁=,a₁+a₂+…+a_n=n².a_n，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=　　　　　　　　　　　　 。

36．設函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0, -<<)

給出以下四個論斷：

①它的圖像關于直線x=對稱；

②它的圖像關于點(,0)對稱；

③它的周期是π；

④在區(qū)間[-，0]上是增函數(shù)。

以其中兩個論斷作為條件，余下論斷作為結論，寫出你認為正確的兩個命題：

(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

37．拋物線x=2(y-1)²-5的準線方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

38．設F₁，F(xiàn)₁是橢圓+=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF₁|-|PF₂|=1，則tan∠F₁PF₂=　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 .

39．已知tan(α+β)=,tan(β-)=，則tan(α+)的值是　　　　　　　　　　　　　　 。

40．如圖14-9，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是一個正方形，PD垂直于底面ABC則這個四棱錐的五個面中，互相垂直的平面共有　　　　　　　 對。

　　　　

41．如圖14-10，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等，試寫出滿足這樣條件的一個截面　　　　　　　　　 。

(注：只需任意寫出一個)

42．直線l經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點，且與準線成60°角，則直線l的方程是　　　　　　　　　　　　　　 。

(注：填上你認為正確的一個方程即可，不必考慮所有可能的情況)

43．若tanα=，則cos2α+3sin²α=　　　　　　　　　　　　　　　 。

44．在平面α內有一個正三角形ABC，以BC邊為軸把△ABC旋轉θ角θ∈(0，)，得到△A′BC，當θ=　　　　　　　　　　　　　　　　　 時，△A′BC在平面α的射影是直角三角形。

45．求值：tan[arcsin(-)]=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

46．圓心在拋物線y²=8x上，與拋物線的準線相切且過坐標原點的圓的方程為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

47．如圖14-11，四棱錐S-ABCD的四條側棱相等，且底面是梯形，AD∥BC，AD>BC，當梯形ABCD滿足條件　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　時，點S在底面ABCD上射影O位于梯 ABCD外邊。(注：只需填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮所有可能情況)

48．給出下面4個命題：

①y=tanx在第Ⅰ象限是增函數(shù)；

②奇函數(shù)的圖像一定過原點；

③f^-1(x)是f(x)的反函數(shù)，如果它們的圖像有交點，則交點必在直線y=x上；

④“a>b>1”是“l(fā)og_ab<2”的充分但不必要條件。

其中正確的命題的序號是　　　　　　　 (把你認為正確的命題的序號都填上)。

49．函數(shù)y=(x≤-1)的反函數(shù)是　　　　　　　　　　　 。