1.　　　　 函數(shù)與不等式

例1　　　　　 已知則的值等于(　 ).

A. 0　　　　 　　　B.　 　　　　　　　C.　 　　　　　　　　D.　　 9

講解　 由,可知選C.

例2　 　函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(　 ).

A.　　　 B.　　　　 C. 　　　　　　　　　　D.　

講解　 拋物線的開口向上,其對稱軸為，于是有是遞增區(qū)間，從而即應選A.

例3　 不等式的解集是( 　).

A. 　　　B. 　　C. 　　　D.　　

講解　 當與異號時，有, 則必有，從而，解出，故應選A.

例4　　　　 關于函數(shù)，有下面四個結(jié)論：

(1)是奇函數(shù)；

(2)當時，恒成立；

(3)的最大值是;

　(4) 的最小值是.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　 ).

　　　　　　 A. 1個　　　　　　 B.　 2個　　　　　 C.　 3個　　　　　　　　　 D. 4個

　　　　　　 講解 由是偶函數(shù)，可知(1)錯；

　　　　　　 又當時，，所以錯(2);

　　　　　　 當，故(3)錯；

　　　　　　 從而對照選支應選A.

2.　 三角與復數(shù)

例5　 如果函數(shù)y = sin2x + a cos2x的圖象關于x＝對稱，則a＝(　 ).

　　 A.　　　　　 B.－　　 C. 1　　　　　　 D. －1

講解　 因為點(0，0)與點(，0)關于直線x＝對稱，所以a必滿足：

　　　　　　　　　　　 　　sin0 + a cos0=sin()+ a cos()，

解出a＝－1，從而可以排除A， B， C.，故應選D.

例6 　在內(nèi)，使成立的的取值范圍是(　 )．

A.　 　　　　　　　　　　　　B.　

C.　 　　　　　　　　　　　　D.　

講解　 將原不等式轉(zhuǎn)化為　由，知，從而，故應選C.

事實上，由顯然滿足，從而否定A, B, D, 故應選C.

亦可在同一坐標系中，作出函數(shù)和在上的圖象，進行直觀求解．

例7　 復數(shù)在復平面上對應的點不可能位于(　 )．

A.　 第一象限　　　　　　　　　　　　　　　 B. 第二象限

C.　 第三象限　　　　　　　　　　 　　　　　D. 第四象限

講解　　　

由無解，可知應選A.

亦可取特值進行排除．事實上

記復數(shù)對應的點為P．若取，點P在第二象限；若取，則點P在第三象限; 若取，則點P在第四象限，故應選A.

例8 　把曲線先沿軸向右平移個單位，再沿軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是(　 )．

A. 　　　　　　B.　

C.　 　　　　　　D.　

講解　 對作變換

　　　　　　　

得　　　　　　　

即　　　　　　　　　　 ．

　　　　　　 故應選C.

　　　　　　 記住一些運動變換的小結(jié)論是有效的．本題是函數(shù)向方程式的變式，較為新穎．

3. 　數(shù)列與排列組合

例9　 　由給出的數(shù)列的第34項是(　 ).

A. 　　　　B.　 100　　　　 C.　 　　　　　　D.　

講解　 對已知遞推式兩邊取倒數(shù), 得

　　　　　　

即　　　 .

　　　　　　 這說明數(shù)列是以為首項, 3為公差的等差數(shù)列, 從而有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

即　　 　故應選B.

　　　　　　 構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列是解決數(shù)列考題的常用方法, 值得我們重視.

　　　　　　 例10 　一種細胞，每三分鐘分裂一次(一個分裂為兩個)，把一個這種細胞放入一個容器內(nèi)，恰好一小時充滿；如果開始時把兩個這種細胞放入該容器內(nèi)，那么細胞充滿容器的時間為(　 ).

　　　　　　 　A. 57分鐘　　　 B.　 30分鐘　　　 C. 27分鐘　　　　　 D.45分鐘

　　　　　　 講解 　設容器內(nèi)細胞共分裂n次，則，即從而共花去時間為分鐘，故應選A.

　　　　　　 例11 從正方形的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有(　 ).

　　　　　　 A. 8種　　　　 B. 12種　　　　 C.　 16種　　　　　　 D.　 20種

講解　 采用補集思想求解. 從6個面中任取3個面的取法共有種方法，其中三個面交于一點共有8種可能，從而滿足題意的取法共有種，故應選B.

請讀者思考：關系式：的含義是什么？

4.　立體幾何

例12　　 如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的

正方形，EF∥AB，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為( 　)

　　 A.　　　 B.5　　　　 C.6　　　　　 D.

講解 　本題的圖形是非常規(guī)的多面體，需要對其進行必要的分割.

連EB、EC，得四棱錐E―ABCD和三棱錐E―BCF，這當中，四棱錐E―ABCD的體積易求得, 又因為一個幾何體的體積應大于它的部分體積，所以不必計算三棱錐E―BCF的體積，就可排除A， B.，C.，故應選D.

“體積變換”是解答立體幾何題的常用方法，請予以關注.

例13　 關于直線以及平面，下面命題中正確的是(　 ).

A.　　 若　則

B.　　 若　則

C.　　 若　且則

D.　　 若則

講解　 對于選支D, 過作平面P交平面N于直線，則，而從而

又　故　應選D.

　　　　　　 請讀者舉反例說明命題A, B, C, 均為假命題.

5.　　　 　解析幾何

例14 　過拋物線y＝x²(a> 0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段FP與FQ的長分別是p、q，則＝(　).

　　 A.　2a　　　B.　　　　　C.　　4a　　　D.　　

講解 　由題意知，對任意的過拋物線焦點F的直線，的值都是的表示式，因而取拋物線的通徑進行求解，則p＝q＝，所以=，故應選D.

例15　 點P到曲線(其中參數(shù))上的點的最短距離是(　 ).

A.　 0　　　　　 B.　 1　　　　　　 C.　 　　　　　　　　D.　　　　 2

講解 由兩點間的距離公式，得點P到曲線上的點Q的距離為

　　　

當時，　故應選B.

將曲線方程轉(zhuǎn)化為，顯然點P是拋物線的焦點，由定義可知：拋物線上距離焦點最近的點為拋物線的頂點，故應選B.

例16 　已知橢圓=1(a＞b＞0)，雙曲線=1和拋物線y²=2px(p＞0 )的離心率分別為e₁、e₂、e₃，則(　　 ).　

　A.e₁e₂＞e₃　 　　　　　　　　　　　　　　B.e₁e₂＝e₃　

　C.e₁e₂＜e₃　 　　　　　　　　　　　　　　D.e₁e₂≥e₃

講解

　　　 　　　　　

故應選C.

例17　 平行移動拋物線，使其頂點的橫坐標非負，并使其頂點到點的距離比到y(tǒng)軸的距離多，這樣得到的所有拋物線所經(jīng)過的區(qū)域是

　A.　 xOy平面　　　 　　　　　　　B.　　

C.　 　　　　　　　　　　D.　 　

講解　 我們先求出到點的距離比到y(tǒng)軸的距離多的點的軌跡.

設P(x,y)是合條件的點，則_，

兩邊平方并整理得

　再設平移后拋物線的頂點為，于是平移后拋物線的方程為

　　　　　　　　　

　按a整理得　　　 .

，化簡得.故應選B.

6.　　　 綜合性性問題

例18 　某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有(　　 )

A.5種　　　　　　 B.6種　　　　　 　C.7種　　　　　　 D.8種

　　　 講解　 設購買單片軟件片, 磁盤盒, 由題意得

　　　 　　　　　　　　

　　　 經(jīng)檢驗可知,該不等式組的正整數(shù)解為:

　　　 當時,

　　　 當時,

當時,

總共有7組, 故應選C.

　　 例19　 銀行計劃將某資金給項目M和N投資一年，其中40%的資金給項目M，60%的資金給項目N，項目M能獲得10%的年利潤，項目N能獲得35%的年利潤，年終銀行必須回籠資金，同時按一定的回扣率支付給儲戶. 為了使銀行年利潤不小于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%，則給儲戶回扣率最小值為(　　 )

　　　 　　　 A．5%　　　　　　　 　　 B．10%　　　　　　　 　 C．15%　　　　　　　　 　 D．20%

　　　 講解 設共有資金為, 儲戶回扣率, 由題意得解出

　　　 　　　　

解出　 ，故應選B.

例20 某電視臺的頒獎禮盒用如下方法做成：先將一個獎品放入一個正方體內(nèi)，再將正方體放在一個球內(nèi)，使正方體內(nèi)接于球；然后再將該球放入一個正方體內(nèi)，球內(nèi)切于該正方體，再將正方體放入一個球內(nèi)，正方體內(nèi)接于球，……如此下去，正方體與球交替出現(xiàn). 如果正方體與球共有13個，最大正方體的棱長為162cm. 獎品為羽毛球拍、藍球、乒乓球拍、手表、項鏈之一，則獎品只能是(構(gòu)成禮品盒材料的厚度忽略不計)(　 ).

　　 A . 項鏈　　　　　　　 　　　　　　　　　　　B. 項鏈或手表

　　　 C. 項鏈或手表，或乒乓球拍　　　　　　　　　　 D. 項鏈或手表，或乒乓球拍，或藍球

　　　　　　 講解　 因正方體的中心與外接球的中心相同，設正方體的棱長為a，外接球的半徑為R，則有

　　　　　　　　　　　 　即

　 　半徑為R的球的外切正方體的棱長，

　 相鄰兩個正方體的棱長之比為

因為有7個正方體，設最小正方體的棱長為t，則

 得.

故禮品為手表或項鏈. 故應選B.

高考中的數(shù)學選擇題一般是容易題或中檔題，個別題屬于較難題，當中的大多數(shù)題的解答可用特殊的方法快速選擇. 例如：估值選擇法、特值檢驗法、順推破解法、數(shù)形結(jié)合法、特征分析法、逆推驗證法、提煉公式法等都是常用的解法. 解題時還應特別注意：數(shù)學選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，因而在求解時對照選支就顯得非常重要，它是快速選擇、正確作答的基本前提.