《平面向量》復習

1、向量的概念；

2、向量的線性運算：即向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積等的定義，運算律；

3、向量運算的運用

1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；②實數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線；③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。

2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。

主要內(nèi)容列表如下：

運　 算	圖形語言	符號語言	坐標語言
加法與減法		+= -=	記=(x1,y1)，=(x1,y2) 則+=(x1+x2,y1+y2) 　 -=(x2-x1,y2-y1)
	+=
實數(shù)與向量 的乘積		=λ λ∈R	記=(x,y) 則λ=(λx,λy)
兩個向量 的數(shù)量積		.=|||| cos<,>	記=(x1,y1), =(x2,y2) 則.=x1x2+y1y2

3、運算律

加法：+=+，(+)+=+(+)

實數(shù)與向量的乘積：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)

兩個向量的數(shù)量積：.=.；(λ).=.(λ)=λ(.)，(+).=.+.

說明：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算，例如(±)²=

5、向量既是重要的數(shù)學概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標系的引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點。

　　 例1、如圖，，為單位向量，與夾角為120⁰， 與的夾角為45⁰，||=5，用，表示。

解題思路分析：

以，為鄰邊，為對角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在，方向上進行分解，如圖，設(shè)=λ，=μ，λ>0，μ>0

則=λ+μ

∵ ||=||=1

∴ λ=||，μ=||

△OEC中，∠E=60⁰，∠OCE=75⁰，由得：

　

　

∴

∴

說明：用若干個向量的線性組合表示一個向量，是向量中的基本而又重要的問題，通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例2、已知△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。

解題思路分析：

用解方程組思想

設(shè)D(x，y)，則=(x-2，y+1)

∵=(-6，-3)，.=0

∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0　　　 ①

∵=(x-3，y-2)，∥

∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0　　　 ②

由①②得：

∴ D(1，1)，=(-1，2)

例3、求與向量=，-1)和=(1，)夾角相等，且模為的向量的坐標?！?

解題思路分析：

用解方程組思想

法一：設(shè)=(x，y)，則.=x-y，.=x+y

∵ <，>=<，>

∴

∴

即　　　　　 ①

又||=

∴ x²+y²=2　　　　　　　　 ②

由①②得　 或(舍)

∴=

法二：從分析形的特征著手

∵ ||=||=2

　 .=0

∴ △AOB為等腰直角三角形，如圖

∵ ||=，∠AOC=∠BOC

∴ C為AB中點

∴ C()

說明：數(shù)形結(jié)合是學好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。

例4、在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設(shè)線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。

解題思路分析：

∵ B、P、M共線

∴ 記=s

∴ ?、?/p>

同理，記

∴ =　　　 　　　　　　?、?/p>

∵ ,不共線

∴ 由①②得解之得：

∴

說明：從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進而引入?yún)?shù)(如s，t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。

例5、已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點

(1)利用向量知識判定點P在什么位置時，∠PED=45⁰；

(2)若∠PED=45⁰，求證：P、D、C、E四點共圓。

解題思路分析：

利用坐標系可以確定點P位置

如圖，建立平面直角坐標系

則C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)

設(shè)P(0，y)

∴ =(1，3)，=(-1，y)

∴

　 .=3y-1

代入cos45⁰=

解之得(舍)，或y=2

∴ 點P為靠近點A的AB三等分處

(3)當∠PED=45⁰時，由(1)知P(0，2)

　∴ =(2，1)，=(-1，2)

　∴.=0

∴ ∠DPE=90⁰

又∠DCE=90⁰

∴ D、P、E、C四點共圓

說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：①建立平面直角坐標系；②設(shè)點的坐標；③求出有關(guān)向量的坐標；④利用向量的運算計算結(jié)果；⑤得到結(jié)論。

(一)　 選擇題

1、平面內(nèi)三點A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，則x的值為：

A、 -5　　　　　　 　 B、-1 　　　　　　　 C、1　　　　　　　　 　　 D、5

　　 2、平面上A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)，C點滿足，連DC并延長至E，使||=||，則點E坐標為：

A、(-8，)　　 B、()　　 　 C、(0，1)　　　 　　　 D、(0，1)或(2，)

2、點(2，-1)沿向量平移到(-2，1)，則點(-2，1)沿平移到：

3、A、(2，-1)　　 B、(-2，1)　　　 　 C、(6，-3)　　　　 　　 D、(-6，3)

4、△ABC中，2cosB.sinC=sinA，則此三角形是：

A、 直角三角形　　　 B、等腰三角形　　 　 C、等邊三角形　　 　　　 D、以上均有可能

5、設(shè)，， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：

①(.)-(.)=0　　　　　 ②||-||<|-|

③(.)-(.)不與垂直　 ④(3+2).(3-2)=9||²-4|²中，真命題是：

A、①②　　　　　　 B、②③　　　　　 　 C、③④　　　　　 　　　 D、②④

6、△ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²(a²+b²)，則∠C度數(shù)是：

A、60⁰　　　　　 　 B、45⁰或135⁰　　　　 C、120⁰　　　　　　 　　 D、30⁰

7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，則點P在

A、∠AOB平分線所在直線上　　　　　　 　　　　 B、線段AB中垂線上

C、AB邊所在直線上　　　　　　　　　 　　　　 D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點為M，坐標原點O不在正方形內(nèi)部，且=(0，3)，=(4，0)，則=

A、()　　 B、()　　　 　　　 C、(7，4)　　　 　 D、()

(二)　 填空題

　　 9、已知{，|是平面上一個基底，若=+λ，=-2λ-，若，共線，則λ=__________。

10、已知||=，||=1，.=-9，則與的夾角是________。

11、設(shè)，是兩個單位向量，它們夾角為60⁰，

則(2-).(-3+2)=____________。

12、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移，得到函數(shù)___________的圖象。

(三)　 解答題

13、設(shè)=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，試求滿足+=的的坐標，其中O為坐標原點。

14、若+=(2，-8)，-=(-8，16)，求、及與夾角θ的余弦值。

15、已知||=，||=3，和夾角為45⁰，求當向量+λ與λ+夾角為銳角時，λ的取值范圍。