《排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率》

1、排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明等；會(huì)解排列、組合應(yīng)用題，掌握常見應(yīng)用題的處理思路。

2、掌握二項(xiàng)式定理，會(huì)用展開式通項(xiàng)求有關(guān)展開式的問題。

3、理解隨機(jī)事件的概率，會(huì)求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率。

1、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來進(jìn)行計(jì)算。只不過利用分類計(jì)算原理時(shí)，每一種方法都可能獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計(jì)數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計(jì)數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復(fù)雜的問題，常先分類再分步。

2、排列數(shù)與組合數(shù)都是計(jì)算完成事件方法個(gè)數(shù)的公式，排列數(shù)是研究排列(既取又排)個(gè)數(shù)的公式，組合數(shù)是研究組合(只取不排)個(gè)數(shù)的公式，是否有序是它們之間的本質(zhì)區(qū)別。

排列數(shù)公式：，當(dāng)m=n時(shí)，，其中m，n∈N₊，m≤n，規(guī)定0!=1

組合數(shù)公式：

組合數(shù)性質(zhì)：，規(guī)定，其中m，n∈N₊，m≤n

3、處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律

(1)兩種思路：直接法，間接法

(2)兩種途徑：元素分析法，位置分析法

　 (3)對(duì)排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要完成什么樣的事件是前提

　 (4)基本題型及方法：捆綁法，插空法，錯(cuò)位法，分組分配法，均勻分組法，逆向思考法等

4、二項(xiàng)式定理

通項(xiàng)公式，r=0，1，2，…，n

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

　 (1)對(duì)稱性，在展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，

；

　 (2)增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，相等，且為最大值；

　 (3)

5、概率

(1)概率是頻率的近似值，兩者是不同概念

(2)等可能事件中概率，P(A)∈[0，1]

(3)互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)

特例：時(shí)，，即對(duì)立事件的概率和為1

　 (4)相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A.B)=P(A)P(B)

　 (5)事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率P_n(k)=C_n^kP^k(1-P)^n-k，其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式[(1-P)+P]ⁿ展開的第k+1項(xiàng)

例1、用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖)，要求在①，②，③，④個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色。

(1)若n=6，為甲著色時(shí)共有多少種不同方法？

(2)若為乙著色時(shí)共有120種不同方法，求n。

解：完成著色這件事，共分四個(gè)步驟，可依次考慮為①、②、③、④著色時(shí)各自的方法數(shù)，再由乘法原理確定決的著色方法數(shù)。因此

　 (1)為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也只有4種方法。

∴ 共有著色方法6×5×4×4=480種

　 (2)與①的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，同理，不同的著色方法數(shù)是n(n-1)(n-2)(n-3)

由n(n-1)(n-2)(n-3)=120

∴ (n²-3n)(n²-3n+2)-120=0

即(n²-3n)²+2(n²-3n)-12×10=0

∴ n²-3n-10=0

∴ n=5

例2、計(jì)算下列各題：

　 (1)

　 (2)

　 (3)

解：(1)原式=

　　　 (2)原式=

　　 (3)原式=

　　　　　　　　 =

例3、按以下要求分配6本不同的書，各有幾種分法？

(1)平均分給甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)平均分成三份，每份2本；

(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；

(6)分成三份，一份4本，另兩份每份1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本(均只要求列式)

解：(1)；

　　　 (2)

　　　 (3)

　　　 (4)

　　　 (5)

　　　 (6)

　　　 (7)

評(píng)注：有關(guān)排列組合混合題常常是先組合再排列。

例4、四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有(　　 )

A、150種　　　 　　 B、147種　　　　 　　　　 C、144種　　　　 　　　　 D、141種

解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形(其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱)，它的4個(gè)點(diǎn)共面，有3種。以上三種情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有(種)

例5、求(4+2x+x²)(2-x)⁷的展開式中x⁵的系數(shù)。

解：(4+2x+x²)(2-x)⁷=(8-x³)(x-2)⁶

　　　　　　　　　 =(8-x³)[(x⁶-2C₆¹x⁵+(-2)²C₆²x⁴+(-2)³C₆³x³+(-2)⁴C₆⁴x²+…]

∴ 含x⁵的項(xiàng)為-2×8×C₆¹.x⁵-(-2)⁴C₆⁴x⁵=-336x⁵

∴ x⁵的系數(shù)為-336

例6、已知的展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列。

(1)求展開式里所有的x的有理項(xiàng)；

(2)求展開式里系數(shù)最大的項(xiàng)。

解：(1)∵

由題設(shè)可知

解得n=8或n=1(舍去)

當(dāng)n=8時(shí)，通項(xiàng)

據(jù)題意，必為整數(shù)，從而可知r必為4的倍數(shù)，而0≤r≤8

∴ r=0，4，8，故x的有理項(xiàng)為，，

(3)設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)t_r+1最大，顯然t_r+1>0，故有≥1且≤1

∵

由≥1得r≤3

又∵

由≤1得：r≥2

∴ r=2或r=3所求項(xiàng)為和

例7、設(shè)a>1，n∈N，且n≥2，求證：

證明：設(shè)，則(x+1)ⁿ=a

欲證原不等式，即證nx<(x+1)ⁿ-1，其中x>0

∵

即(x+1)ⁿ>nx+1，原不等式成立。

評(píng)注：由于(a+b)ⁿ的展開式共有n+1項(xiàng)，故可通過對(duì)某些項(xiàng)的取舍來達(dá)到近似計(jì)算或證明不等式的目的。

例8、盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品。

解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有6²=36種不同取法

　 (1)取到的2只都是次品情況為2²=4種，因而所求概率為

　 (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率為

　 (3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對(duì)立事件，因而所求概率為

例9、甲、乙兩人獨(dú)立地破譯1個(gè)密碼，他們能譯出的密碼的概率分別為和，求：

(1)恰有1人譯出的密碼的概率；

(2)至多1人譯出的密碼的概率；

(3)若達(dá)到譯出的密碼的概率為，至少需要多少個(gè)乙這樣的人。

解：記“甲譯出密碼”為事件A，“甲譯不出密碼”這事件；記“乙譯出密碼”為事件B，“乙譯不出密碼”為事件；“兩人都譯出密碼”為事件C，“兩人都譯不出密碼”為事件D；“恰有1人譯出密碼”為事件E；“至多1人譯出密碼”為事件F。

　 (1)“恰有1人譯出密碼”是包括2種情況：一種是，另一種是。這兩種情況不能同時(shí)發(fā)生，是互斥的。

∴

　 (2)“至多1人譯出密碼”包括兩種情況：“2人都譯不出密碼”或“恰有1人譯出密碼”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的

∴

　 (3)n個(gè)乙這樣的人都譯不出密碼的概率為，根據(jù)題意得：　

　　 解得：n=16

例10、某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根，求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時(shí)另一盒還有r根(1≤r≤n)的概率。

解析：由題意知：數(shù)學(xué)家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。

由于數(shù)學(xué)家取火柴時(shí)，每次他在兩盒中任取一盒并從中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不從此盒中取出一根火柴的概率也是。

由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率為：

(一)　 選擇題

　　 1、某一排共12個(gè)座位，現(xiàn)甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右兩旁都有空座位，且三人的順序是甲必須在另兩人之間，則不同的座法共有

A、60種　　　　　 　 B、112種　　　　　 　 C、242種　　　　 　 D、672種

2、某同學(xué)從6門課中選學(xué)2門，其中有2門課上課時(shí)間有沖突，另有2門不允許同時(shí)選學(xué)，則該同學(xué)可選學(xué)的方法總數(shù)有

A、8種　　　 　　　 B、13種　　　　 　　 C、12種　　　 　　　 D、9種

3、如圖，在某城市中，M、N兩地間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中的矩形的邊前進(jìn)，則從M到N不同的走法共有

A、13種　　　 　　　 B、15種　　　　 　　 C、25種　　　 　　　 D、10種

4、將n個(gè)不同的小球放入n個(gè)不同的盒子里，恰好有一個(gè)空盒的放法種數(shù)是

A、　　 　 B、　　　 C、　　　 　 D、

5、若(1-2x)⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸+a₉x⁹，則a₁+a₂+…+a₈的值為

A、-1　　　　　　  B、-2 　　　　　　　 C、-512　　　　　 　 D、510

6、　展開式中，x⁴的系數(shù)為

A、-40　　　　　　 　 B、10 　　　　　　　 C、40　　　　　　 　 D、45

7、的展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是

A、84　　　　　　 　 B、85 　　　　　　　 C、86　　　　　　 　 D、87

8、的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是

A、第3項(xiàng)　　　　 　 B、第4項(xiàng)　　　　　 C、第2或第3項(xiàng)　　 D、第3或第4項(xiàng)

9、擲三顆骰子(各面上分別標(biāo)以數(shù)字1到6的均勻正方體玩具)，恰有一顆骰子出1點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是

A、　　　　　 　　 B、　　　　　 　　 C、　　　　　 　　 D、

10、一工人看管三臺(tái)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率分別是0.9，0.8和0.85，那么在一小時(shí)中至少有一臺(tái)機(jī)床不需要照看的概率是

A、0.003　　　　 　　 B、0.612 　　　　　 C、0.388　　　　 　　 D、0.027

11、在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P的取值范圍是

A、[0.4，1]　　 　　 B、(0，0.4]　　 　　 C、(0，0.6]　　 　　 D、[0.6，1)

12、一批零件10個(gè)，其中有8個(gè)合格品，2個(gè)次品，每次任取一個(gè)零件裝配機(jī)器，若第一次取得合格品的概率是P₁，第二次取得合格品的概率是P₂，則

A、P₁>P₂　　　　 　　 B、P₁=P₂ 　　　　　　 C、P₁<P₂　　　　 　　 D、P₁=2P₂

13、一個(gè)學(xué)生通過某種英語聽力測(cè)試的概率是1/2，他連續(xù)測(cè)試n次，要保證他至少有一次通過的概率大于0.9，那么n的最小值為

A、3　　　　　　 　 B、4 　　　　　　　 C、5　　　　　　 　　 D、6

14、甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p、q，他們各投兩次，若p=1/2，且甲比乙投中次數(shù)多的概率恰好等于7/36，則q的值為

A、　　　　　　 　 B、　　　　　 　　 C、　　　　　 　　 D、

(二)　 填空題

15、空間12個(gè)點(diǎn)，其中5個(gè)點(diǎn)共面，此外無任何4個(gè)點(diǎn)共面，這12個(gè)點(diǎn)最多可決定_________個(gè)不同的平面。

16、(4+2x+x²)(2-x)⁷展開式中x⁵的系數(shù)為________。

17、=__________。

18、有1個(gè)數(shù)字難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則：兩人都未解決的概率為__________；問題得到解決的概率為__________。

19、一次考試出了10個(gè)選擇題，每道題有4個(gè)可供選擇的答案，其中1個(gè)是正確的，3個(gè)是錯(cuò)誤的，某學(xué)生只知道5個(gè)題的正確答案，對(duì)其他5個(gè)題全靠猜回答，那么這個(gè)學(xué)生卷面上正確答案不少于7個(gè)題的概率是_________。

(三)　 解答題

　　 20、某天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共6節(jié)課，如果第1節(jié)不排體育，最后1節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課表的方法。

21、有甲、乙、丙三位老師，分到6個(gè)班上課：

(1)每人上2個(gè)班課，有多少種分法？

(2)甲、乙都上1個(gè)班課，丙上4個(gè)班課，有多少種分法？

(3)2人各上1個(gè)班課，1個(gè)人上4個(gè)班課，有多少種分法？

　　 22、在x(1-x)^k+x²(1+2x)⁸+x³(1+3x)¹²的展開式中，含x⁴的系數(shù)是144，求k的值并求出含x²項(xiàng)的系數(shù)等于多少？

23、某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，求：

　 (1)5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；

　 (2)5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。

24、有6個(gè)房間安排4個(gè)旅游者住，每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住房間是等可能的，試求下列事件的概率：

(1)事件A：指定的4個(gè)房間各有1人；

(2)事件B：恰有4個(gè)房間中各有1人；

(3)事件C：指定的某個(gè)房間中有2人；

(4)事件D：第1號(hào)房間有1人，第2號(hào)房間有3人。

25、有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8，0.7，從兩批種子中各取1粒，求：

　 (1)2粒種子都能發(fā)芽的概率；

　 (2)至少有1粒種子發(fā)芽的概率；

　 (3)恰好有1粒種子發(fā)芽的概率。

26、如圖構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性為r(0<r，r<1)，且各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求圖中兩種系統(tǒng)的可靠性。