極限與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

本章主要內(nèi)容是極限和導(dǎo)數(shù)的概念與運算法則，以及導(dǎo)數(shù)在幾何、函數(shù)等方面的應(yīng)用。

　 (1)極限是本章也是整個微積分的基礎(chǔ)概念,它包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，它們都是是在無限變化過程中(n→∞，x→∞或x→x₀)的變化趨勢，這一共同點決定了兩類極限有類似的運算性質(zhì)；如果兩個數(shù)列(或函數(shù))有極限，那么它們的和、差、積、商的極限分別等于這兩個數(shù)列(或函數(shù))的極限的和、差、積、商(作為除數(shù)的數(shù)列或函數(shù)的極限不能為0)。其原因在于無窮數(shù)列{a_n}是定義域為N₊的特殊函數(shù)a_n=f(n)，數(shù)列的極限是函數(shù)極限=A的特例。

極限概念及運算性質(zhì)決定了確定極限的兩種方法：一是利用數(shù)形結(jié)合思想，從量變中認識質(zhì)變的數(shù)學(xué)思想方法，即極限方法。利用極限的方法求出了變速直線運動的瞬時速度與曲線上某點的切線方程，并從中抽象出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念。導(dǎo)數(shù)是一種特殊的函數(shù)極限，，x₀變化時，f’(x₀)就是導(dǎo)函數(shù)，二是利用極限的運算法則，可推導(dǎo)出最常用的導(dǎo)數(shù)公式與運算法則：c’=0(c為常數(shù))，(xⁿ)’=nx^n-1(n∈N₊)，[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)，[cf(x)]’=cf’(x)，進一步可以求出所有多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

　 (2)導(dǎo)數(shù)f’(x)是函數(shù)平均變化率的極限，瞬時速度、切線斜率、經(jīng)濟學(xué)中的邊際成本都與平均變化率有關(guān)，因而導(dǎo)數(shù)有廣泛的作用。

　 (3)本章思想方法

①極限思想：在變化中求不變，在運動中求靜止的思想；

　 　②數(shù)形結(jié)合思想，如用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值等。

例1、 求下列極限

　 (1)　 (2))

解題思路分析：

(1)因分子及分母的次數(shù)隨n增大而增加，故不能利用運算性質(zhì)。先求和化簡。

　

∴

(2)當(dāng)x→1時，及均無意義，應(yīng)約去因式x-1

∵

∴

說明：函數(shù)在x=1 無定義，但與存在無關(guān)。一般地有下列結(jié)論：如果f(x)=x₀處無定義，g(x)在x=x₀處有定義并存在極限，且當(dāng)x≠x₀時，f(x)=g(x)，則。

例2、設(shè)函數(shù)y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點為P，且曲線在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式。

解題思路分析：

　 P(0，d)

∵ 曲線在點P處切線為12x-y-4=0

∴ x=0時，y=d

∴ d=-4

∵ y’=3ax²+2bx+c

∴ y’|_x=0=c

又切線斜率k=12

∴ c=12

又函數(shù)在x=2處取得極值0

∴

∴

∴

∴ 函數(shù)解析式y(tǒng)=2x³-9x²+12x-4

例3、偶函數(shù)f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的圖象過點P(0，1)，且在x=1處的切線方程為y=x-2

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)求y=f(x)的極大(小)值。

解題思路分析：

∵ f(x)是偶函數(shù)

∴ b=d=0

又圖象過P(0，1)

∴ e=1

此時f(x)=ax⁴+cx²+1

∵ y’=4ax³+2cx

∴ y’|_x=1=4a+2c=1　　　　　 ①

又切點(1，-1)在曲線上

∴ a+c+1=-1　　　　　　　　 ②

由①②得：

∴ f(x)=

　 (2)f’(x)=10x³-9x=0

∴ x=0，x=

列表可得：時，f(x)_極小=

　　　　　 x=0時，f(x)_極大=1

例4、曲線上哪一點的法線在y軸上截距最?。?法線是指過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線)

解題思路分析：

在曲線上任取一點(x₀，y₀)，則過該點切線的斜率為k=2x₀⁵

∴ 法線的斜率為

∴ 法線方程y-y₀=

令x=0，使法線在y軸上的截距

　

∴

令y’=0，得x₀=±1

當(dāng)x₀<-1時，y’<0，∴y單調(diào)遞減

當(dāng)-1<x₀<0時，y’>0，∴y單調(diào)遞增

當(dāng)0<x₀<1時，y’<0，∴y單調(diào)減小

當(dāng)x₀>1時，y’>0，則y單遞增

∴ 當(dāng)x₀=±1時，，此時點(±1，)

例5、研究函數(shù)f(x)=ax³+bx²-x+1的單調(diào)性(a≠0)

解題思路分析：

　

1、a>0時，由f’(x)>0得或

　 得

∴ f(x)在(-∞，，，+∞)上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。

2、當(dāng)a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增；在(-∞，，，+∞)上單調(diào)遞減。

例6、用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積？

解題思路分析：

設(shè)容器底面短邊長為xm，另一邊長為(x+0.5)m，高為(3.2-2x)m

∵ 3.2-2x>0，x>0

∴ 0<x<1.6

設(shè)容器的容積為ym³

　 y=x(x+0.5)(3.2-2x)

∴ y=-2x³+2.2x²+1.6x

∴ y’=-6x²+4.4x+1.6

令y’=0得x=1，x=(舍)

∵ y在(0，1.6)內(nèi)只有一個駐點x=1，而x過小或過大時，y值很小

∴ 當(dāng)x=1時，y_max=1.8，此時高為1.2

(一)　 選擇題(每小題5分，共60分)

1、 等差數(shù)列中，若存在，則這樣的數(shù)列

A、 有且僅有一個　　 　　 B、有無數(shù)多個　　 　　　 C、有一個或無窮多個　　 　　 D、不存在

2、 已知，如果bc≠0，那么=

A、 15　　　　　　　 　　 B、　　　　　　 　　　 C、　　　　　　 　　　　　 D、

3、 若r為實常數(shù)，則集合

A、恰有一個元素　　 　　 B、恰有兩個元素　 　　　 C、恰有三個元素　 　　　　　 D、無數(shù)多個元素

4、的值

A、2　　　　　　　　 　　 B、1 　　　　　　　　　 C、0　　　　　　 　　　　 　　 D、不存在

5、函數(shù)y=(x²-1)³+1在x=-1處

A、 有極大值　　 　　　　 B、無極值　　　 　　　　 C、有極小值　　 　　　　　　 D、無法確定極值情況

6、 f(x)=ax³+3x²+2，f’(-1)=4，則a=

A、　　　　　 　　　 B、　　　　　 　　　　　　 C、　　　　　 　　　　　　　　 D、

7、過拋物線y=x²上的點M()的切線的傾斜角是

A、30⁰ 　　　　　　　　 B、45⁰ 　　　　　　　　 C、60⁰　　　　　 　　　　　　 D、90⁰

8、函數(shù)f(x)=x³-6bx+3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是

A、 A、(0，1)　　 　　　 B、(-∞，1)　　 　　　　 C、(0，+∞)　　 　　　　　　 D、(0，)

9、 函數(shù)y=x³-3x+3在[]上的最小值是

A、 　　　　　　　　　 B、1 　　　　　　　　　 C、　　　　　　 　　　　　 D、5

　　 10、若f(x)=x³+ax²+bx+c，且f(0)=0為函數(shù)的極值，則

A、c≠0　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 B、當(dāng)a>0時，f(0)為極大值

C、b=0　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 D、當(dāng)a<0時，f(0)為極小值

11、已知函數(shù)y=2x³+ax²+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是

A、(2，3)　　　 　　　 B、(3，+∞)　　　 　　　 C、(2，+∞)　　　 　　　　 D、(-∞，3)

12、方程6x⁵-15x⁴+10x³+1=0的實數(shù)解的集合中

A、至少有2個元素　　　 B、至少有3個元素　　　 C、至多有1個元素　　　　 　 D、恰好有5個元素

(二)　 填空題(每小題4分，共16分)

13、若，則a=______，b=______。

　　 14、已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)滿足f’(x)>0，f(0)>0，則=__________。

15、拋物線y=x²上點切線和直線3x-y+1=0的交角為45⁰，則點P坐標(biāo)為__________。

　　 16、兩個和為48的正整數(shù)，第一個數(shù)的立方與第二個數(shù)的平方之和最小，則這兩個正整數(shù)分別為__________。

(三)　 解答題

17、(10分)已知無窮數(shù)列{a_n}存在極限，且，求。

18、(12分)設(shè)函數(shù)，求的值。

19、(12分)已知曲線C₁：y=ax²上點P處的切線為₁，曲線C₂：y=bx³上點A(1，b)處的切線為₂，且₁⊥₂，垂足M(2，2)，求a、b的值及點P的坐標(biāo)。

20、(12分)求函數(shù)f(x)=p²x²(1-x)^p(p∈N₊)，在[0，1]內(nèi)的最大值。

21、(14分)證明雙曲線xy=a²上任意一點的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù)。

22、(14分)已知曲線S：y=x³+px²+qx的圖象與x軸相切于不同于原點的一點，又函數(shù)有極小值-4，求p、q的值。