高考招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3到10頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷 參考公式： 如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　球是表面積公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如果事件A、B相互獨立，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　其中R表示球的半徑 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 球的體積公式 如果參考答案

理科數(shù)學參考答案

一．選擇題：本題考察基礎(chǔ)知識和基本運算，每小題5分，滿分60分

(1) A　　　 (2) C　　　 (3)　 D　　　　 (4) D　　　　　 (5) A　　　　　 (6) C

(7) A　　　 (8) C　　　 (9)　 B　　　　 (10) B　　　　 (11) D　　　　 (12) B

二．填空題：本題考察基礎(chǔ)知識和基本運算，每小題4分，滿分16分

(13)　　　　　 (14)　　　 (15)　 (16)① ④

三．解答題：

(17)本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計算能力。

解：(Ⅰ)由，得

∴，于是

(Ⅱ)由，得

又∵，∴

由得：

所以

(18)本題考察相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機事件的分布列，數(shù)學期望等，考察運用所學知識與方法解決實際問題的能力。

解：(Ⅰ)記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A

　　 用對立事件A來算，有

(Ⅱ)可能的取值為

　　　　　　　 ，，

記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為

(19)本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數(shù)學問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運算能力。

解法一：

(Ⅰ)∵

∴，

又∵

∴

(Ⅱ)取的中點，則，連結(jié)，

∵，∴，從而

作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

直線與直線所成的角為

∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，為正方形

∴

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系(如圖)

由題意有，設(shè)，

則

由直線與直線所成的解為，得

，即，解得

∴，設(shè)平面的一個法向量為，

則，取，得

平面的法向量取為

設(shè)與所成的角為，則

顯然，二面角的平面角為銳角，

故二面角的平面角大小為

(Ⅲ)取平面的法向量取為，則點A到平面的距離

∵，∴

(20)本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力。

解：(Ⅰ)解法一：易知

所以，設(shè)，則

因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值

當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值

解法二：易知，所以，設(shè)，則

(以下同解法一)

(Ⅱ)顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，

聯(lián)立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即　 ∴

故由①、②得或

(21)本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解：(Ⅰ)由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然　∴

(Ⅱ)證明：(必要性)

若對一切正整數(shù)，則，即，而，∴，即有

(充分性)若，由

用數(shù)學歸納法易得，從而，即

又　∴

于是，

即對一切正整數(shù)成立

(Ⅲ)由，知，同理，

故

從而，即

所以，數(shù)列成等比數(shù)列，故，

即，從而

所以

(22)本題考察函數(shù)、不等式、導數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等內(nèi)容和數(shù)學思想方法?？疾榫C合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識。

(Ⅰ)解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是

(Ⅱ)證法一：因

證法二：因

而

故只需對和進行比較。

令，有

由，得

因為當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值

故當時，，

從而有，亦即

故有恒成立。

所以，原不等式成立。

(Ⅲ)對，且

有

又因，故

∵，從而有成立，

即存在，使得恒成立。

含詳細解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1、復數(shù)的值是(　　)

(A)0　　　　　　　　　 (B)1　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　　　　 (D)

解析：選A．．本題考查復數(shù)的代數(shù)運算．

2、函數(shù)與在同一直角坐標系下的圖象大致是(　　)

解析：選C．注意 的圖象是由的圖象右移1而得．本題考查函數(shù)圖象的平移法則．

3、(　　)

(A)0　　(B)1　　(C)　　(D)

解析：選D．本題考查型的極限．原式或原式．

4、如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是(　　)

(A)平面

(B)

(C)平面

(D)異面直線與所成的角為

解析：選D．顯然異面直線與所成的角為．

5、如果雙曲線上一點到雙曲線右焦點的距離是2，那么點到軸的距離是(　　)

(A)　　　(B)　 　　(C)　　　(D)

解析：選A．由點到雙曲線右焦點的距離是2知在雙曲線右支上．又由雙曲線的第二定義知點到雙曲線右準線的距離是，雙曲線的右準線方程是，故點到軸的距離是．

6、設(shè)球的半徑是1，、、是球面上三點，已知到、兩點的球面距離都是，且二面角的大小是，則從點沿球面經(jīng)、兩點再回到點的最短距離是(　　)

(A)　　　　　　　　　　　 (B)　　　　(C)　　　 　　　　(D)

解析：選C．．本題考查球面距離．

7、設(shè)，，為坐標平面上三點，為坐標原點，若與在方向上的投影相同，則與滿足的關(guān)系式為(　　)

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解析：選A．由與在方向上的投影相同，可得：即 ，．

8、已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于(　　)

(A)3　　　　　　　　　　　 (B)4　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　 (D)

解析：選C．設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，∴，由弦長公式可求出．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運算量增大．

9、某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為(　　)

(A)36萬元　　　　　　　 (B)31.2萬元　　　　 (C)30.4萬元　　　 　　　(D)24萬元

解析：選B．對甲項目投資24萬元，對乙項目投資36萬元，可獲最大利潤31.2萬元．因為對乙項目投資獲利較大，故在投資規(guī)劃要求內(nèi)(對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍)盡可能多地安排資金投資于乙項目，即對項目甲的投資等于對項目乙投資的倍時可獲最大利潤．這是最優(yōu)解法．也可用線性規(guī)劃的通法求解．注意線性規(guī)劃在高考中以應用題型的形式出現(xiàn)．

10、用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有(　　)

(A)288個　　　　　　　　 (B)240個　　　　　　　　 (C)144個　　　　　　　　　　 (D)126個

解析：選B．對個位是0和個位不是0兩類情形分類計數(shù)；對每一類情形按“個位－最高位－中間三位”分步計數(shù)：①個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；②個位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；故共有個．本題考查兩個基本原理，是典型的源于教材的題目．

11、如圖，、、是同一平面內(nèi)的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，正三角形的三頂點分別在、、上，則⊿的邊長是(　　)

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

解析：選D．過點C作的垂線，以、為軸、軸建立平面直角坐標系．設(shè)、、，由知，檢驗A：，無解；檢驗B：，無解；檢驗D：，正確．本題是把關(guān)題．在基礎(chǔ)中考能力，在綜合中考能力，在應用中考能力，在新型題中考能力全占全了．是一道精彩的好題．可惜區(qū)分度太?。?/p>

12、已知一組拋物線，其中為2、4、6、8中任取的一個數(shù)，為1、3、5、7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線交點處的切線相互平行的概率是(　　　 )

(A)　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　　　 (D)

解析：選B．這一組拋物線共條，從中任意抽取兩條，共有種不同的方法．它們在與直線交點處的切線的斜率．若，有兩種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有三種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有四種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有三種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有兩種情形，從中取出兩條，有種取法．由分類計數(shù)原理知任取兩條切線平行的情形共有種，故所求概率為．本題是把關(guān)題．

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上．

13、若函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是，且是偶函數(shù)，則________．

解析：，，∴．

14、在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成的角是____________

解析：，點到平面的距離為，∴，．

15、已知的方程是，的方程是，由動點向和所引的切線長相等，則動點的軌跡方程是__________________

解析：：圓心，半徑；：圓心，半徑．設(shè)，由切線長相等得

，．

16、下面有5個命題：

①函數(shù)的最小正周期是．

②終邊在軸上的角的集合是．

③在同一坐標系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個公共點．

④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象．

⑤函數(shù)在上是減函數(shù)．

其中，真命題的編號是___________(寫出所有真命題的編號)

解析：①，正確；②錯誤；③，和在第一象限無交點，錯誤；④正確；⑤錯誤．故選①④．