高考數(shù)學(xué)二診文科試題參考答案

文科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見(jiàn)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出來(lái)填涂在答題卡上．

CDACB　　　　　　 ACBDA　　　　　　　 BD

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．

13．　　　　　　　　 14．b≤且 b≠0　　　　　　　 15．　　　　　　　 16．t = 4

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

17．由　知B為銳角，得 ，，

所以 ，得 A + B = 45°，

因此∠C = 135°，表明c邊最長(zhǎng)．　　　　　　　　　　　　 ……………………… 5分

∵ tanA＞tanB，且正切函數(shù)在(0°，90°)內(nèi)單調(diào)增加，

∴ A＞B，于是b邊最短，即 b = 1．

∵ ，

∴ 由正弦定理　得 ，

故最長(zhǎng)邊的值為．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………12分

18．設(shè)不等式︱2x－4︱＜5－x，，2x² + mx－1＜0的解集分別為A，B，C．

則由︱2x－4︱＜5－x得，當(dāng)x≥2時(shí)，不等式化為 2x－4＜5－x，得 x＜3，所以有2≤x＜3；當(dāng)x＜2時(shí)，不等式化為 4－2x＜5－x，得 x＞－1，所以有－1＜x＜2，故A =(－1，3)．　　　　　　　　　　　　 …………… 3分

　Û 　Û 　Û

Û　 0≤x＜1 或 2＜x≤4， 即 B = [ 0，1∪(2，4．

…………… 6分

若同時(shí)滿足①②的x值也滿足③，則有A∩BÍC．

設(shè) f(x)= 2x² + mx－1，則由于A∩B = [ 0，1∪(2，3)，

故結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得 ．

…………… 12分

19．設(shè)開(kāi)辦初中班x個(gè)，高中班y個(gè)，收取的學(xué)費(fèi)總額為z萬(wàn)元．

根據(jù)題意，有 x≥0，y≥0，且x、y∈Z；　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

20≤x + y≤30；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

25x + 50y + 2.5×3.2x + 4.0×4.0y ≤1320，

即 x + 2y≤40．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

目標(biāo)函數(shù)為 z = 0.7×40 x + 0.8×45 y = 28 x + 36 y，可行域如圖：

…………… 6分

把z = 28 x + 36 y變形為，

得到斜率為，在y軸上的截距為，隨z

變化的一簇平行直線．由圖象可以看到，當(dāng)直

線z = 28 x + 36 y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)A時(shí)，z最大．

解方程組 　得x = 20，y = 10，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(20，10)，所以 z_max = 28×20 + 36×10 = 920．

由此可知，開(kāi)辦20個(gè)初中班和10個(gè)高中班，收取的學(xué)費(fèi)總額最多，為920萬(wàn)元．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 12分

20．(Ⅰ)若q = 1，則 S₁ = a₁，S₃ = 3a₁，S₅ = 5a₁，S₇ = 7a₁，于是 　與已知矛盾，表明 q≠1．因此根據(jù) 　和已知，得　 ，

∴　 1－q－(1－q⁵)= 4(1－q³)－4(1－q⁷)，

即　 q⁴－1 = 4q²(q⁴－1)，

解得 (舍去)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 6分

(Ⅱ) ∵ ， ∴ ，

于是 ，

∴　 ，

兩式相減，得 ，

∴ ．　　　 …………… 12分

21．(Ⅰ)設(shè) y = f(x)= x³－3ax²－24a²x + b，

則　 f ′(x)= 3x²－6ax－24a²，

∴　 f ′(x)= 3(x－4a)(x + 2a)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 3分

由　 f ′(x)= 0，得 x = 4a，－2a．不難驗(yàn)證，a = 0不滿足題意，因而 f(x)的極值為：

f(－2a)= 28a³ + b，

f(4a)=－80a³ + b．

根據(jù)題意，得　 f(－2a)－f(4a)= 108a³ = ± 4，

因?yàn)?i>a為實(shí)數(shù)，于是解得 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 6分

(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)y = f(x)存在正的極大值，負(fù)的極小值，故

(ⅰ)當(dāng)＞0時(shí)，由下表：

x	…	－2a	…	4a	…
f ′(x)	+	0	－	0	+
f(x)		極大		極小

得　 f(－2a)＞0，f(4a)＜0，

∴　 28a³ + b＞0，－80a³ + b＜0，

即　 －28a³＜b＜80a³， 解得 ．　　　　　　　　　　　 …………… 9分

(ⅱ)當(dāng)＜0時(shí)，由下表：

x	…	4a	…	－2a	…
f ′(x)	+	0	－	0	+
f(x)		極大		極小

得　　 f(4a)＞0，f(－2a)＜0，

∴　 －80a³ + b＞0，28a³ + b＜0，

即　 80a³＜b＜－28a³， 解得 ．　　　　　　　　　 …………… 12分

22．設(shè)直線FA的斜率為k，其方程為y = kx + 1． 　①

因?yàn)辄c(diǎn)A(x，y)同時(shí)滿足式①和圓，所以把式①代入圓的方程中，得 (x－3)² +(kx + 1)² = 1，

即 (1 + k²)x²－(6－2k)x + 9 = 0．

其根的判別式 △ =(6－2k)²－4 . 9 .(1 + k²)≥0，

解得 ．　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、凇　?……… 4分

設(shè) 、，把式①代入拋物線方程中，得

，即 x²－4kx－4 = 0．　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　?、?/p>

顯然△ =(4k)²－4×1×(－4)= 16(k² + 1)＞0，x_B，x_C是方程③的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

有 x_B + x_C = 4k，x_B . x_C =－4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　 ……… 8分

于是切線CP、BP的方程為

，　　　　 　　　　　　　　　　　　　　?、?/p>

，　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　?、?/p>

由⑤－⑥得 ，

∴ ，

=．

于是CP與BP的交點(diǎn)為P(2k，－1)，即點(diǎn)P的軌跡為一條水平線段，其軌跡方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 14分