1.(全國卷Ⅰ)在中,已知,給出以下四個(gè)論斷: B
① ② ③ ④
其中正確的是(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③
2.(全國卷Ⅱ)銳角三角形的內(nèi)角A 、B 滿足tan A - = tan B,則有
(A)sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0
3.(江西卷)在△OAB中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),,則當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時(shí),( D ) A. B. C. D.
4.△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.如果a、b、c成等差數(shù)列,
∠B=30°,△ABC的面積為,那么b= ( )
A. B. C. D.
5.(湖北卷)若的內(nèi)角滿足,則
A. B. C. D.
解:由sin2A=2sinAcosA>0,可知A這銳角,所以sinA+cosA>0,又,故選A
6.(福建卷)在△ABC中,∠C=90°,則k的值是 ( D )
A.5 B.-5 C. D.
7.(全國卷Ⅰ)的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,,則實(shí)數(shù)m = 1
[典型考例]
[問題1]三角形內(nèi)角和定理的靈活運(yùn)用
例1.(2005湖南卷)已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小.
解法一 由
得
所以
即
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383749_1/image036.gif">所以,從而
由知 從而.
由
即
由此得所以
解法二:由
由、,所以即
由得
所以
即 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383749_1/image053.gif">,所以
由從而,知B+2C=不合要求.
再由,得 所以
例2.[2007年全國高考(四川云南吉林黑龍江)理科數(shù)學(xué)第17題,文科數(shù)學(xué)第18題].
已知銳角三角形ABC中,
(Ⅰ)求證:; (Ⅱ)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.
解:(Ⅰ)證明:
所以
(Ⅱ)解:,
即 ,將代入上式并整理得
解得,舍去負(fù)值得,
設(shè)AB邊上的高為CD.則AB=AD+DB=
由AB=3,得CD=2+. 所以AB邊上的高等于2+.
[問題2]正弦定理、余弦定理、面積公式的靈活應(yīng)用
例3:在中,,,,求的值和的面積.
解法一: ,又
例4..(2007年湖北文分)
在△ABC中,已知,求△ABC的面積.
解.本小題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能和運(yùn)算能力.
解法1:設(shè)AB、BC、CA的長分別為c、a、b,
.
故所求面積
解法3:同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得
故所求面積
例5.(2005年湖北理) 在△ABC中,已知邊上的中線BD=,求sinA的值.
解.本小題主要考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能和運(yùn)算能力.
解法1:設(shè)E為BC的中點(diǎn),連接DE,則DE//AB,且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得: BD2=BE2+ED2-2BE.EDcosBED,
解法2:
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),軸正向建立直角坐標(biāo)系,且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限.
解法3:過A作AH⊥BC交BC于H,延長BD到P使BD=DP,連接AP、PC,
過P作PN⊥BC交BC的延長線于N,則HB=ABcosB=
[問題3]向量與解三角形
例6.(2004年湖北高考數(shù)學(xué).理工第19題,文史第19題,本小題滿分12分)
如圖,在Rt△ABC中,已知BC=a,若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問
的夾角取何值時(shí)的值最大?并求出這個(gè)最大值.
21.(2004年湖北高考數(shù)學(xué).理工第19題,文史第19題)
本小題主要考查向量的概念,平面向量的運(yùn)算法則,考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識(shí)的能力,滿分12分.
解法二:以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
課后訓(xùn)練:
1.(2006全國)在,求(1)
(2)若點(diǎn)
2.如圖,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救.甲船立即前往救援,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1)?
[解]
………….5分
…8分
……………………………………………………………………11分
………………14分
3.已知中,分別是角的對(duì)邊,且,=
,求角A.
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