1.(北京卷)已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
2.(福建卷)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時,設(shè)則
(A) (B) (C) (D)
3.(廣東卷)下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A. B.
C. D.
4.(遼寧卷)設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是
(A) f(x) f(-x)是奇函數(shù) (B) f(x) |f(-x)|是奇函數(shù)
(C) f(x)- f(-x)是偶函數(shù) (D) f(x)+ f(-x)是偶函數(shù)
5.(全國II)函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)g(x)=log2x(x>0)的圖像關(guān)于原點對稱,則f(x)的表達(dá)式為
(A)f(x)=(x>0) (B)f(x)=log2(-x)(x<0)
(C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0)
6.(全國II)如果函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,則y=f(x)的表達(dá)式為
(A)y=2x-3 (B)y=2x+3 (C)y=-2x+3 (D)y=-2x-3
7.(山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則,f(6)的值為
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2
8.(天津文10) 設(shè)f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù),f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減,且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,則下面正確的結(jié)論是 ( )
(A); (B);
(C); (D)
9.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)時,且g(-3)=0則不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )
A. B. C. D.
10.直線沿軸正方向平移個單位,再沿軸負(fù)方向平移-1個單位得直線,若直線與重合,則直線的斜率為( )
(A) (B) (C) (D)
11.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 0 。
12.(天津文9)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有,則的單調(diào)遞增區(qū)間為
例1.(05浙江文20)已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1,1]上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。
解:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點Q(xqλ,yq關(guān)于原點的對稱點(x,y),
則即∵點Qxq,yq)在函數(shù)f(x)的圖象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0,當(dāng)x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解,
當(dāng)x<1時,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集為[-1, ]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 當(dāng)λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數(shù),∴λ=-1
② 當(dāng)λ≠-1時,對稱軸的方程為x=.
(i) 當(dāng)λ<-1時, ≤-1,解得λ<-1.
(ii) 當(dāng)λ>-1時, ≥-1,解得-1<λ≤0.
綜上,λ≤0
例2.(江蘇卷)已知函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)a=2時,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
解:(1)當(dāng)a=2時,,則方程f(x)=x即為
解方程得:
(2)(I)當(dāng)a>0時,,作出其草圖見右, 易知f (x)有兩個極值點借助于圖像可知,當(dāng)時,函數(shù)f (x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),此時
當(dāng)時,顯然此時函數(shù)的最小值為
當(dāng)時,,此時f(x)在區(qū)間為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),
∴,又可得 ∴
則當(dāng)時,,此時
當(dāng)時,,此時
當(dāng)時,,此時f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數(shù),故
(II)當(dāng)時,,此時f(x)在區(qū)間[1,2]也為增函數(shù),故
(III)當(dāng)時,其草圖見右 顯然函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數(shù),故
例3.(湖南卷)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1,C2于點M、N,證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
解:(I),則
因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以<0有解.
又因為x>0時,則ax2+2x-1>0有x>0的解.
①當(dāng)a>0時,y=ax2+2x-1為開口向上的拋物線,ax2+2x-1>0總有x>0的解;
②當(dāng)a<0時,y=ax2+2x-1為開口向下的拋物線,而ax2+2x-1>0總有x>0的解;
則△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此時,-1<a<0.
綜上所述,a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).
(II)證法一 設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.
則點M、N的橫坐標(biāo)為
C1在點M處的切線斜率為
C2在點N處的切線斜率為
假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則k1=k2.
即,
則
=
所以 設(shè)則①
令則
因為時,,所以在)上單調(diào)遞增. 故
則. 這與①矛盾,假設(shè)不成立. 故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
證法二:同證法一得 因為,所以
令,得 ②
令
因為,所以時,
故在[1,+上單調(diào)遞增.從而,即
于是在[1,+上單調(diào)遞增.
故即這與②矛盾,假設(shè)不成立.
故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
例4. 已知函數(shù)y=f (x)是定義在上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)是奇函數(shù)又知y=f (x)在[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x=2時函數(shù)取得最小值.
①證明:;②求的解析式;③求在[4,9]上的解析式.
解:∵f (x)是以為周期的周期函數(shù),∴,
又∵是奇函數(shù),∴,∴
②當(dāng)時,由題意可設(shè),
由得,∴,
∴
③∵是奇函數(shù),∴,
又知y=f (x)在[0,1]上是一次函數(shù),∴可設(shè),而,
∴,∴當(dāng)時,f (x)=-3x,
從而當(dāng)時,,故時,f (x)= -3x,.
∴當(dāng)時,有,∴0.
當(dāng)時,,∴
∴
例5:已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減. ……
證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=-f(-x). ∴f(x)為奇函數(shù).
(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減. 令0<x1<x2<1,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0,
即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 ∴f(x)在(-1,1)上為減函數(shù).
例6.(湖南卷)設(shè),點P(t,0)是函數(shù)的圖象的一個公共點,兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函數(shù)在(-1,3)上單調(diào)遞減,求t的取值范圍.
解:(I)因為函數(shù)f (x),g(x)的圖象都過點((t,0),所以,
即.因為所以.
又因為f (x),g(x)在點(t,0)處有相同的切線,所以
而
將代入上式得 因此故,,
(II)解法一.
當(dāng)時,函數(shù)y= f (x)-g(x)單調(diào)遞減.
由,若;若
由題意,函數(shù)y= f (x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,
則所以
又當(dāng)時,函數(shù)y= f (x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減.
所以的取值范圍為
解法二:
因為函數(shù)y= f (x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,且是(-1,3)上的拋物線,
所以 即 所以的取值范圍為
1.. (北京卷)在下列四個函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對于區(qū)間(1,2)上的任意,恒成立”的只有
(A) (B) (C) (D)
解:|>1<1\ |<|x1-x2|故選A
2.(全國卷I)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則
A. B.
C. D.
解:函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱,所以f(x)是的反函數(shù),即=,∴ ,選D.
3.(全國卷I)已知函數(shù),若為奇函數(shù),則________。
解析:函數(shù)若為奇函數(shù),則,即,a=.
4.(福建卷理12)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且f(2)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 A.2; B.3; C.4; D.5 ( D )
5.(天津理10)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(A) (B) (C) (D) ( B )
6.(山東卷理4)下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( D )
(A) (B)
(C) (D)
7.(甘肅貴州青海寧夏新疆)理科數(shù)學(xué)第12題]
設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則( )
A.0 B.1 C. D.5
8.已知f(x)是R上的偶函數(shù),對都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若f(1)=2,則f(2005)=( )
A、2005 B、2 C、1 D、0
9.方程f(x)=x的根稱為f(x)的不動點,若函數(shù)有唯一不動點,且,,則 。
11.定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)≠0,當(dāng)x>0時,f(x)>1,且對任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),(1)求證:f(0)=1;(2)求證:對任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)證明:f(x)是R上的增函數(shù);
點撥與提示:根據(jù)f(a+b)=f(a).f(b)是恒等式的特點,對a、b適當(dāng)賦值.利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號“f”得到關(guān)于x的代數(shù)不等式,是處理抽象函數(shù)不等式的典型方法.
12.設(shè)a為實數(shù),設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。
(Ⅰ)設(shè)t=,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
(Ⅱ)求g(a)
解:本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。
(Ⅰ)令
要使有t意義,必須1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1,
∴t≥0 ①
t的取值范圍是由①得
∴m(t)=a()+t=
(Ⅱ)由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。
注意到直線是拋物線的對稱軸,分以下幾種情況討論。
(1)當(dāng)a>0時,函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段,
由<0知m(t)在上單調(diào)遞增,∴g(a)=m(2)=a+2
(2)當(dāng)a=0時,m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)當(dāng)a<0時,函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段,
若,即則
若,即則
若,即則
綜上有