1.(06湖北卷)設(shè),則的定義域?yàn)開______________
解:f(x)的定義域是(-2,2),故應(yīng)有-2<<2且-2<<2解得-4<x<-1或1<x<4故選B
2.(06湖南卷)函數(shù)的定義域是_______ [4, +∞)
3.(07陜西卷)函數(shù)f(x)= (x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
4.(06浙江卷)對(duì)a,bR,記max{a,b}=,函數(shù)f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是____.
解:當(dāng)x<-1時(shí),|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因?yàn)?-x-1)-(2-x)=-3<0,所以2-x>-x-1;當(dāng)-1£x<0.5時(shí),|x+1|=x+1,|x-2|=2-x,因?yàn)?x+1)-(2-x)=2x-1<0,x+1<2-x;當(dāng)0.5£x<2時(shí),x+1³2-x;當(dāng)x³2時(shí),|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,顯然x+1>x-2;
故據(jù)此求得最小值為。選C
5.(07安徽卷)函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件,若則_______。
解:由得,所以,則。
6. (07山東卷)設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為_____(1,2) ( ,+∞)
解:令>2(x<2),解得1<x<2。令>2(x³2)解得xÎ(,+∞)
7. (05江蘇卷2)函數(shù)的反函數(shù)的解析表達(dá)式為_______________.
8.已知f(cosx)=cos5x,則f(sinx)=___________.
9.(06重慶卷)如圖所示,單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象是
解析:如圖所示,單位圓中的長(zhǎng)為x,與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,當(dāng)的長(zhǎng)小于半圓時(shí),函數(shù)y=f(x)的值增加的越來(lái)越快,當(dāng)的長(zhǎng)大于半圓時(shí),函數(shù)y=f(x)的值增加的越來(lái)越慢,所以函數(shù)y=f(x)的圖像是D.
10. (05浙江理3)設(shè)f(x)=,則f[f()]= ________________
12. (04年北京文8) 函數(shù),其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集,又規(guī)定,,給出下列四個(gè)判斷:
①若,則 ?、谌?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383784_1/image040.gif">,則
③若,則 ?、苋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383784_1/image044.gif">,則
其中正確判斷有 ( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
例1.(上海春) 設(shè)函數(shù).(1)在區(qū)間[-2,6]上畫出函數(shù)的圖像;
(2)設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系,并給出證明; (3)當(dāng)時(shí),求證:在區(qū)間上,的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.
解:(1)(要求列表描點(diǎn)) (2)方程的解分別是和,由于在和[2,5]上單調(diào)遞減,在[-1,2]和上單調(diào)遞增,因此 .
由于.
(3)[解法一] 當(dāng)時(shí),.
,
. 又,
① 當(dāng),即時(shí),取,
. , 則.
② 當(dāng),即時(shí),取, =.
由 ①、②可知,當(dāng)時(shí),,.
因此,在區(qū)間上,的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
[解法二] 當(dāng)時(shí),.由
得, 令 ,
解得 或,
在區(qū)間[-1,5]上,當(dāng)時(shí),的圖像與函數(shù)f(x)的圖像只交于一點(diǎn); 當(dāng)時(shí),的圖像與函數(shù)f(x)的圖像沒有交點(diǎn). 如圖可知,由于直線過(guò)點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此,在區(qū)間上,的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.
例2.(全國(guó)卷Ⅱ理17設(shè)函數(shù),求使的取值范圍.
解:由于是增函數(shù),等價(jià)于①
⑴當(dāng)時(shí),,∴①式恒成立。
⑵當(dāng)時(shí),,①式化為,即。
⑶當(dāng)時(shí),,①式無(wú)解?! ?綜上,的取值范圍為
例3.已知函數(shù)(a,b為常數(shù))且方程f(x)-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3, x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式;
[正確解答](1)將
得
(2)不等式即為
即
①當(dāng)
②當(dāng)
③.
例4.(全國(guó)II卷)設(shè),函數(shù)若的解集為A,,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:由f(x)為二次函數(shù)知,令f(x)=0解得其兩根為
由此可知
(i)當(dāng)時(shí),的充要條件是,即解得
(ii)當(dāng)時(shí),的充要條件是,即解得
綜上,使成立的a的取值范圍為
例5.(上海文22)(本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分,計(jì)18分)對(duì)定義域是、的函數(shù)y=f(x)、y=g(x),規(guī)定:函數(shù)。
(1)若函數(shù),,寫出函數(shù)的解析式;(2)求問(wèn)題(1)中函數(shù)的值域; (3)若,其中是常數(shù),且,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù),及一個(gè)的值,使得,并予以證明。
解(3)[解法一]令則
于是
[解法二]令,
則
于是
例6.設(shè)的值域?yàn)閇-1,4],求a、b的值.
例7:已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞,(1)當(dāng)a=0.5時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值
(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍
(1)解 當(dāng)a=時(shí),f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間[1,+∞上為增函數(shù),∴f(x)在區(qū)間[1,+∞上的最小值為f(1)=
(2)解法一 在區(qū)間[1,+∞上,f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞,∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增,
∴當(dāng)x=1時(shí),ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3
解法二 f(x)=x++2,x∈[1,+∞
當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)的值恒為正; 當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)遞增,故當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=3+a,
當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題,著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力 解題的關(guān)健是把求a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想
1.已知f(xn)=lgx(n∈N*),則f(2)=_________________.
2.已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽+,且滿足條件f(x)=f.lgx+1,f(x)=_______
3.(04年湖北3)已知的解析式
A. B. C. D.
4.(04年湖北7)函數(shù)上的最大值和最小值之和為a,則a的值為( )
A.0.25 B.0.5 C.2 D.4
5. (04天津12)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)時(shí),,則的值為
A. B. C. D.
6.(福建卷)函數(shù)的部分圖象如圖,則( )
A. B.
C. D.
7.
8.方程cos2x+sinx=a有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
9.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達(dá)式
解 (1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at
因此f(t)= (at-a-t) ∴f(x)= (ax-a-x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)
10(福建卷理19)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M(-1,f(x))處的切線方程為x+2y+5=0.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M(-1f(-1))處的 切線方程為x+2y+5=0,知
58.(重慶卷) 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足
(I)若,求;又若,求;
(II)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達(dá)式
55、(天津文15)設(shè),則函數(shù)的定義域?yàn)?u> 。
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