1．集合的含義與表示

(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系；

(2)能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；

2．集合間的基本關系

(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；

(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義；

3．集合的基本運算

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；

(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；

(3)能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。

預測2007年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為：

(1)題型是1個選擇題或1個填空題；

(2)熱點是集合的基本概念、運算和工具作用。

1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合。

(1)集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作；

(2)集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；

確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；

互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；

無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關；

(3)表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；

描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。

具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。

注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。

(4)常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N；

正整數(shù)集，記作N^*或N₊；

整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R。

2．集合的包含關系：

(1)集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A)，記作AB(或)；

　 集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A　　 B；

(2)簡單性質：1)AA；2)A；3)若AB，BC，則AC；4)若集合A是n個元素的集合，則集合A有2ⁿ個子集(其中2ⁿ－1個真子集)；

3．全集與補集：

(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；

(2)若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補集；

(3)簡單性質：1)()=A；2)S=，=S。

4．交集與并集：

(1)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。

(2)一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。

注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。

5．集合的簡單性質：

(1)

(2)

(3)

(4)；

(5)(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。

題型1：集合的概念

例1．設集合，若，則下列關系正確的是(　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項為D；

點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關系。首先應該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關系，而集合之間是包含與不包含的關系。

例2．設集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關系中成立的是(　　 )

A．PQ　　　　　　　　　 B．QP　　　　　　　 C．P=Q　　　　　　　　 D．P∩Q=Q

解：Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立＝，對m分類：

①m=0時，－4＜0恒成立；

②m＜0時，需Δ=(4m)²－4×m×(－4)＜0，解得m＜0。

綜合①②知m≤0，

∴Q={m∈R|m≤0}。

答案為A。

點評：該題考察了集合間的關系，同時考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進行分類討論，不能忽略m=0的情況。

題型2：集合的性質

例3．(2000廣東，1)已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是(　　 )

A．15　 　　　　　　　　　 B．16 　　　　　　　　　　 C．3 　　　　　　　　　　　　　 D．4

解：根據(jù)子集的計算應有2⁴－1=15(個)。選項為A；

點評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。

變式題：同時滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。

答案：這樣的集合M有8個。

例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。

解：∵；

∴，即＝0，解得

當時，，為A中元素；

當時，

當時，

∴這樣的實數(shù)x存在，是或。

另法：∵

∴，

∴＝0且

∴或。

點評：該題考察了集合間的關系以及集合的性質。分類討論的過程中“當時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。

變式題：已知集合，,,求的值。

解：由可知，

(1)，或(2)

解(1)得，

解(2)得，

又因為當時，與題意不符，

所以，。

題型3：集合的運算

例5．(06全國Ⅱ理，2)已知集合M＝{x|x＜3，N＝{x|log₂x＞1}，則M∩N＝(　 )

A．　　　　 B．{x|0＜x＜3　　　 C．{x|1＜x＜3　　　　　 D．{x|2＜x＜3

解：由對數(shù)函數(shù)的性質，且2>1，顯然由易得。從而。故選項為D。

點評：該題考察了不等式和集合交運算。

例6．(06安徽理，1)設集合，，則等于(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：，，所以，故選B。

點評：該題考察了集合的交、補運算。

題型4：圖解法解集合問題

例7．(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數(shù)a的取值范圍是____　　　 _。

解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關系：如圖所示，因此有a≤－2。

點評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關系問題。

例8．(1996全國理，1)已知全集I＝N^*，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N^*}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，則(　　 )

A．I＝A∪B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．I＝(A)∪B

C．I＝A∪(B　　 )　　　　　　　　　　　　 D．I＝(A)∪(B)

解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有C選項正確.

方法二：因A＝{2，4，6，8…}，B＝{4，8，12，16，…}，所以B＝{1，2，3，5，6，7，9…}，所以I＝A∪B，故答案為C.

方法三：因BA，所以()A()B，()A∩(B)＝A，故I＝A∪(A)＝A∪(B)。

方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。

點評：本題考查對集合概念和關系的理解和掌握，注意數(shù)形結合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。

題型5：集合的應用

例9．向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？

解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。

設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。

點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強化學生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系。

例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？

解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件　　　　　　　　　　　　　　　　　

的數(shù)共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)

+(200÷30)＝146

所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54(個)

點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可考慮用扣除法。

題型7：集合綜合題

例11．(1999上海，17)設集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實數(shù)a的取值范圍。

解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。

由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。

因為AB，所以，于是0≤a≤1。

點評：這是一道研究集合的包含關系與解不等式相結合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法。

例12．已知{a_n}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數(shù)，它的前n項和記作S_n,設集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)|　x²－y²=1,x,y∈R}。

試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：

(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

(2)A∩B至多有一個元素；

(3)當a₁≠0時，一定有A∩B≠。

解：(1)正確；在等差數(shù)列{a_n}中，S_n=,則(a₁+a_n),這表明點(a_n,)的坐標適合方程y(x+a₁),于是點(a_n, )均在直線y=x+a₁上。

(2)正確；設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，

當a₁=0時，方程(^*)無解，此時A∩B=；

當a₁≠0時，方程(^*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。

∴A∩B至多有一個元素。

(3)不正確；取a₁=1，d=1，對一切的x∈N^*，有a_n=a₁+(n－1)d=n>0,　>0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結論，A∩B中至多有一個元素(x₀,y₀),而x₀=＜0,y₀=＜0，這樣的(x₀,y₀)A,產生矛盾，故a₁=1,d=1時A∩B=，所以a₁≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。

點評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。

變式題：解答下述問題：

(Ⅰ)設集合，,求實數(shù)m的取值范圍.

　 分析：關鍵是準確理解　　 的具體意義，首先要從數(shù)學意義上解釋　 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。

解：

的取值范圍是_UM={m|m<-2}.

(解法三)設這是開口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質知命題又等價于

注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關鍵作用，否則解答沒有這么簡單。

(Ⅱ)已知兩個正整數(shù)集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},

、B.

分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質解決，注意“正整數(shù)”這個條件的運用，

(Ⅲ)

　

　 分析：正確理解

　 　 　 要使,

由

當k=0時，方程有解,不合題意；

當①

又由

由②，

由①、②得

∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1

點評：這是一組關于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關鍵是準確理解問題條件的具體的數(shù)學內容，才能由此尋求解決的方法。

題型6：課標創(chuàng)新題

例13．七名學生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？

　 解：設集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中間的位置}，

D={丙站在正中間的位置}，

則集合A、B、C、D的關系如圖所示，

∴不同的排法有種.

點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應用，在今后的學習中應注意總結集合應用的經驗。

例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有　； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有

(1)設，證明：

(2)設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;

(3)設,任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式。

解：

對任意,,,,所以

對任意的，

，

　 ，

　 所以0<,

令=，

，

所以

反證法：設存在兩個使得,。

則由，

得，所以，矛盾，故結論成立。

，

所以

+…

。

點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質融合在集合的關系當中，題目比較新穎。

集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學問題。

1．學習集合的基礎能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等；

2．強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容(即讀懂問題中的集合)以及各個集合之間的關系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡(或求解)，一般應考慮先化簡(或求解)；

3．確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內容，解決問題時應根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學內容來尋求方法。

① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}；

② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。

③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是－1, 所有非空真子集的個數(shù)是。

④區(qū)分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關系?？占侨魏渭系淖蛹侨魏畏强占系恼孀蛹?。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。

⑥符號“”是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線(面)的關系 ；符號“”是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關系。

邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學科，是人們認識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學生的推理技能，發(fā)展學生的思維能力。