例2、 已知數(shù)列滿足:。
解:由于是知
。
評析:本題主要通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì),從而達到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的。其中性質(zhì)探求是關鍵。
例3、設F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .
解析:由橢圓第二定義知,這些線段長度的最小值為右焦點到右頂點的距離即|FP1|=,最大值為右焦點到左頂點的距離即|FP21|=,故若公差d>0,則同理若公差d<0,則可求得。
評析:本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關性質(zhì)結合在一起,形式新穎,內(nèi)容深遂,有一定的難度,可見命題設計者的良苦用心。解決的關鍵是確定該數(shù)列的最大項、最小項,然后根據(jù)數(shù)列的通項公求出公差的取值范圍。
例4、 若數(shù)列是等差數(shù)列,則有數(shù)列類比上述性質(zhì),相應地:若數(shù)列是等比數(shù)列,且,則有數(shù)列
解析:由已知“等差數(shù)列前n項的算術平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項的幾何平均值也應該是等比數(shù)列”不難得到
評析:本題只須由已知條件的特征從形式和結構上對比猜想不難挖掘問題的突破口。
例5、將自然數(shù)不清,2,3,4……排成數(shù)陳(如右圖),在2處轉(zhuǎn)第一個彎,在3轉(zhuǎn)第二個彎,在5轉(zhuǎn)第三個彎,….,則第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為____________。
解:觀察由1起每一個轉(zhuǎn)彎時遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1,1,2,2,3,3,4,4,……”。故在第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為:
1+2(1+2+3+……+1002)+1003=1006010。
評析:本題求解的關鍵是對圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。具體解題時需要較強的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力。因此,它在高考中具有較強的選拔功能。
例6、下表給出一個“等差數(shù)陣”:
4 |
7 |
(
) |
(
) |
(
) |
…… |
|
…… |
7 |
12 |
(
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(
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(
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…… |
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…… |
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(
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(
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(
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…… |
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…… |
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
其中每行、每列都是等差數(shù)列,表示位于第i行第j列的數(shù)。
(I)寫出的值;(II)寫出的計算公式;
(III)證明:正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。
解:(I)(詳見第二問一般性結論)。
(II)該等差數(shù)陣的第一行是首項為4,公差為3的等差數(shù)列: ; 第二行是首項為7,公差為5的等差數(shù)列: , ……,第i行是首項為,公差為的等差數(shù)列,因此
(III)必要性:若N在該等差數(shù)陣中,則存在正整數(shù)i,j使得,從而 。 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。
充分性:若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積,由于2N+1是奇數(shù),則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積,即存在正整數(shù)k,l,使得, 從而可見N在該等差數(shù)陣中。
綜上所述,正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。
評析: 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識,考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對應項的通項公式。
例7、如圖,第n個圖形由第n+2邊形“擴展”而來的。記第n個圖形的頂點數(shù)為,則= ?!?
解:由圖易知:從而易知
評析:求解幾何計數(shù)問題通常采用“歸納-猜想-證明”解題思路。本題也可直接求解。第n個圖形由第n+2邊形“擴展”而來的,這個圖形共由n+3個n+2邊形組成,而每個n+2邊形共有n+2個頂點,故第n個圖形的頂點數(shù)為。
例8、如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形,第n行共有n個數(shù),且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是n,中間任意一個數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個數(shù)的和, 分別表示第n行的第一個數(shù),第二個數(shù),…….第n 個數(shù)。
求的通項式。
解:(1)由圖易知從而知是一階等差數(shù)列,即
以上n-1個式相加即可得到:
評析:“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點問題。求解這類題目的關鍵是仔細觀察各行項與行列式的對應關系,通常需轉(zhuǎn)化成一階(或二階)等差數(shù)列結合求和方法來求解。有興趣的同學不妨求出的通項式。