直線與平面平行

1. 直線與平面平行的判定

(1)　 定義

(2)　　 判定

2. 直線與平面平行的性質(zhì)

(1)

(2)*

(3)*

[典型例題]

[例1] 正方形ABCD交正方形ABEF于AB(如圖所示)M、N在對角線AC、FB上且AM= FN。求證：MN //平面BCE

證：過N作NP//AB交BE于P，過M作MQ//AB交BC于Q

　　 　　

又 ∵ 　MQPN

　　

[例2] 如圖，異面直線a、b，，，H為AB中點，，，，，，。求證：N為PQ中點

證：連AQ交于M，連HM、NM

∴

[例3] ，，。求證：

證：過a作　　 ∴ 　過a作

　　 ∴ 　　∴

[例4] 已知，，。求證：

假設過、A中確定平面　

∵ 　　∴ 　　又 ∵ 與已知矛盾

∴ 假設不成立　　 ∴

[例5] a、b異面，求證過b與a平行的平面有且僅有一個。

證：存在性：過b上一點P作直線，確定平面　　 ∴ 　

唯一性：假設存在　 　　　　　　　　

由例3 與已知矛盾　　 ∴ 只有一個

[例6] P為空間一點，a、b異面，過P作與a、b均平行的平面可作幾個。

0個或1個 過a存在平面　

　　　　　 過b存在平面　

① 或　 0個

② 且　 1個 可用反證法證明只有一個

[例7] a、b異面直線，P為空間任一點，過P作直線與a、b均相交，這樣的直線可以作多少條？

解：0、1或無數(shù)　 過a存在唯一個平面，過b存在唯一個平面

① 若或有無數(shù)條

② 若或且且直線不存在

③ 且，有且只有一條

，過P、b作平面

　 ∴ 　　∴ 　

連PQ與b相交　　 ∴ 存在與a、b均相交

假設有兩條過P的直線、與a、b均相交　 　確定平面

a與各有一個交點　 ∴ 　同理與a、b異面矛盾

∴ 假設不成立　　 ∴ 只有一條

[例8] a、b、c兩兩異面，空間與a、b、c，均相交的直線有多少條。

證：存在　 　　

　　 存在　 　　

　　 c與a、b異面，c中有無數(shù)個點在、外，每一個點可作一條線與a、b均相交

　　 ∴ 無數(shù)條

[模擬試題]

1. ，a、b與、均垂直，則a、b的關系為(　　 )

A. 平行　　　 B. 相交　　　 C. 異面　　　 D. 以上均可能

2. 已知異面直線a、b成60°角，P為空間一點，則過P且與a、b所成角均為60°的直線有(　　 )

A. 2條　　　　 B. 3條　　　 C. 4條　　　 D. 無數(shù)條

3. 空間直線a，b滿足(1)與a異面；(2)與a成45°角；(3)與a距離為10cm，則這樣的b有(　　 )

A. 1條　　　 B. 2條　　　 C. 4條　　　 D. 無數(shù)條

4. P為　 ABCD所在平面外一點，，，且求證：