1.設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則( )
?、?a.b)c-(c.a)b=0
②|a|-|b|<|a-b|;
③(b.c)a-(c.a)b不與c垂直;
④(3a+2b).(3a-2b)=9|a|-4|b|.
其中的真命題是( )
A.②④ B.③④ C.②③ D.①②
2.若直線mx+ny=4和⊙O∶沒有交點(diǎn),則過(m,n)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)( )
A.至多一個(gè) B.2個(gè)
C.1個(gè) D.0個(gè)
3.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成120°的二面角,C點(diǎn)到處,這時(shí)異面直線AD與所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4.現(xiàn)用鐵絲做一個(gè)面積為1平方米、形狀為直角三角形的框架,有下列四種長度的鐵絲各一根供選擇,其中最合理(即夠用,浪費(fèi)最少)的一根是( ).
A.4.6米 B.4.8米 C.5.米 D.5.2米
5.在△ABC中,=5,=3,=6,則=( )
A.13 B.26 C. D.24
6.一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面,如果圓錐的體積與半球的體積恰好相等,則圓錐軸截面頂角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.已知雙曲線的離心率,.雙曲線的兩條漸近線構(gòu)成的角中,以實(shí)軸為角平分線的角記為,則的取值范圍是( ).
A., B.,
C., D.,
8.已知函數(shù)為偶函數(shù)<<,其圖像與直線y=2的某兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,,的最小值為,則( )
A., B.,
C., D.,
9.過拋物線的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4
10.若,則,,的大小關(guān)系是( )
A. B.
C. 1B.
11.若不等式的解集是非空集合 ,m= .
12.是定義在實(shí)數(shù)有R上的奇函數(shù),若x≥0時(shí),,則________.
13.若點(diǎn)P(,)在直線上上,則________.
14.用一個(gè)與正方體的各面都不平行的平面去截正方體,截得的截面是四邊形的圖形可能是下列選項(xiàng)中的________(把所有符合條件的圖形序號(hào)填入).
?、倬匦巍 ?②直角梯形
③菱形 ④正方形
15.某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心F為焦點(diǎn)的橢圓,測得近地點(diǎn)A距離地面,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面,地球半徑為,關(guān)于這個(gè)橢圓有以下四種說法:
?、俳咕嚅L為;②短軸長為;③離心率;④若以AB方向?yàn)?i>x軸正方向,F為坐標(biāo)原點(diǎn),則與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為,其中正確的序號(hào)為________.
16.(12分)設(shè)函數(shù)的最大值為M,最小正周期為T.
(Ⅰ)求M、T;
(Ⅱ)10個(gè)互不相等的正數(shù)滿足求… +的值.
17.(12分)無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和,并且≠.
(1)求p的值;
(2)求的通項(xiàng)公式;
18.(14分)(甲)如圖,已知斜三棱柱的側(cè)面⊥底面ABC,∠ABC=90°,BC=2,AC=,又⊥,=.
(1)求側(cè)棱與底面ABC所成的角的大小;
(2)求側(cè)面與底面所成二面角的大??;
(3)求點(diǎn)C到側(cè)面的距離.
(乙)在棱長為a的正方體中,E,F分別是棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF.
(1)求證:;
(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí),求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).
19.(14分)在拋物線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l;y=kx+3對(duì)稱,求k的取值范圍.
20.(14分)某地區(qū)預(yù)計(jì)明年從年初開始的前x個(gè)月內(nèi),對(duì)某種商品的需求總量(萬件)與月份x的近似關(guān)系為:,且.
(1)寫出明年第x個(gè)月的需求量(萬件)與月x的函數(shù)關(guān)系,并求出哪個(gè)月份的需求量最大,最大需求量是多少?
(2)如果將該商品每月都投放市場p萬件(銷售未完的商品都可以在以后各月銷售),要保證每月都足量供應(yīng),問:p至少為多少萬件?
21.(14分)已知函數(shù)的定義域?yàn)閇,],值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383884_1/image092.gif">,,并且在,上為減函數(shù).
(1)求a的取值范圍;
(2)求證:;
高考數(shù)學(xué)模擬考試題(文科卷4) 時(shí)量120分鐘. 滿分150分參考答案
參考答案
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.B 10.C
:11. 12.-1 13.-2 14.①③④ 15.①③④
16. ……………………2分
(Ⅰ)M=2…………4分 T=…………6分
(Ⅱ) …………9分
又
=………………12分
17.(1)∵ ∴ ,且p=1,或.
若是,且p=1,則由.
∴ ,矛盾.故不可能是:,且p=1.由,得.
又,∴ .
(2)∵ ,,
∴ .
.
當(dāng)k≥2時(shí),. ∴ n≥3時(shí)有
.
∴ 對(duì)一切有:.
18.(甲)(1)∵ 側(cè)面底面ABC, ∴ 在平面ABC上的射影是AC.
與底面ABC所成的角為∠.
∵ ,, ∴ ∠=45°.
(2)作⊥AC于O,則⊥平面ABC,再作OE⊥AB于E,連結(jié),則,所以∠就是側(cè)面與底面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△中,,,
∴ . 60°.
(3)設(shè)點(diǎn)C到側(cè)面的距離為x.
∵ ,
∴ .(*)
∵ ,, ∴ .
又,∴ .
又. ∴ 由(*)式,得.∴
(乙)(1)證明:如圖,以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AE=BF=x,則(a,0,a),F(a-x,a,0),(0,a,a),E(a,x,0),
∴ (-x,a,-a),
(a,x-a,-a).
∵ ,
∴ .
(2)解:記BF=x,BE=y,則x+y=a,則三棱錐的體積為
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,三棱錐的體積取得最大值時(shí),.
過B作BD⊥BF交EF于D,連結(jié),則.
∴ ∠是二面角的平面角.在Rt△BEF中,直角邊,BD是斜邊上的高, ∴
在Rt△中,tan∠.故二面角的大小為.
19.∵ k=0不符合題意, ∴ k≠0,作直線:
,則.
∴ 滿足條件的
由消去x,得
,
..(*)
設(shè),、、,則 .
又.
∴ .
故AB的中點(diǎn),. ∵ l過E, ∴ ,即 .
代入(*)式,得
20.(1).當(dāng)x≥2時(shí),
.
∴ ,且.
∵ .
∴ 當(dāng)x=12-x,即x=6時(shí),(萬件).故6月份該商品的需求量最大,最大需求量為萬件.
(2)依題意,對(duì)一切{1,2,…,12}有.
∴ (x=1,2,…,12).
∵
∴ . 故 p≥1.14.故每個(gè)月至少投放1.14萬件,可以保證每個(gè)月都保證供應(yīng).
21.(1)按題意,得.
∴ 即 .
又
∴ 關(guān)于x的方程.
在(2,+∞)內(nèi)有二不等實(shí)根x=、.關(guān)于x的二次方程
在(2,+∞)內(nèi)有二異根、.
.
故 .
(2)令,則
.
∴ .
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