(1)“”是“”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)若函數(shù),(其中,)的最小正周期是,且,則( )
A. B.
C. D.
(3)直線關(guān)于直線對稱的直線方程是( )
A. B.
C. D.
(4)要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭,使整個草坪都能噴灑到水.假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是關(guān)徑為6米的圓面,則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最少是( )
A. B. C. D.
(5)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則( )
A. B. C. D,
(6)若兩條異面直線外的任意一點(diǎn),則( )
A.過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行
B.過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直
C.過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交
D.過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面
(7)若非零向量滿足,則( )
A. B.
C. D.
(8)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是( )
(9)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,是準(zhǔn)線上一點(diǎn),且,,則雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
(10)設(shè)是二次函數(shù),若的值域是,則的值域是( )
A. B.
C. D.
第II卷(共100分)
(11)已知復(fù)數(shù),,則復(fù)數(shù) .
(12)已知,且,則的值是 .
(13)不等式的解集是 .
(14)某書店有11種雜志,2元1本的8種,1元1本的3種,小張用10元錢買雜志(每種至多買一本,10元錢剛好用完),則不同買法的種數(shù)是 (用數(shù)字作答).
(15)隨機(jī)變量的分布列如下:
其中成等差數(shù)列,若,則的值是 .
(16)已知點(diǎn)在二面角的棱上,點(diǎn)在內(nèi),且.若對于內(nèi)異于的任意一點(diǎn),都有,則二面角的大小是 .
(17)設(shè)為實(shí)數(shù),若,則的取值范圍是 .
(18)(本題14分)已知的周長為,且.
(I)求邊的長;
(II)若的面積為,求角的度數(shù).
(19)(本題14分)在如圖所示的幾何體中,平面,平面,,且,是的中點(diǎn).
(I)求證:;
(II)求與平面所成的角.
(20)(本題14分)如圖,直線與橢圓交于兩點(diǎn),記的面積為.
(I)求在,的條件下,的最大值;
(II)當(dāng),時,求直線的方程.
(21)(本題15分)已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個根,且.
(I)求,,,;
(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)記,
,
求證:.
(22)(本題15分)設(shè),對任意實(shí)數(shù),記.
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)求證:(ⅰ)當(dāng)時,對任意正實(shí)數(shù)成立;
(ⅱ)有且僅有一個正實(shí)數(shù),使得對任意正實(shí)數(shù)成立.
高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)全國統(tǒng)一考試試題 數(shù)學(xué)(理工類) 第I卷(共50分)參考答案
數(shù)學(xué)(理工類)答案
一、選擇題:本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題5分,滿分50分.
(1)A (2)D (3)D (4)B (5)A
(6)B (7)C (8)D (9)B (10)C
二、填空題:本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題4分,滿分28分.
(11) (12) (13) (14)
(15) (16) (17)
三、解答題
(18)解:(I)由題意及正弦定理,得,
,
兩式相減,得.
(II)由的面積,得,
由余弦定理,得
,
所以.
(19)本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.滿分14分.
方法一:
(I)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image148.gif">,是的中點(diǎn),
所以.
又平面,
所以.
(II)解:過點(diǎn)作平面,垂足是,連結(jié)交延長交于點(diǎn),連結(jié),.
是直線和平面所成的角.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image150.gif">平面,
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image160.gif">平面,
所以,
則平面,因此.
設(shè),,
在直角梯形中,
,是的中點(diǎn),
所以,,,
得是直角三角形,其中,
所以.
在中,,
所以,
故與平面所成的角是.
方法二:
如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以,分別為軸和軸,過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,.,.
(I)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image190.gif">,,
所以,
故.
(II)解:設(shè)向量與平面垂直,則,,
即,.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image200.gif">,,
所以,,
即,
,
直線與平面所成的角是與夾角的余角,
所以,
因此直線與平面所成的角是.
(20)本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.
(Ⅰ)解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
由,解得,
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時,取到最大值.
(Ⅱ)解:由
得,
,
. ②
設(shè)到的距離為,則
,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image227.gif">,
所以,代入②式并整理,得
,
解得,,代入①式檢驗(yàn),,
故直線的方程是
或或,或.
21.本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識,考查運(yùn)算及推理能力.滿分15分.
(I)解:方程的兩個根為,,
當(dāng)時,,
所以;
當(dāng)時,,,
所以;
當(dāng)時,,,
所以時;
當(dāng)時,,,
所以.
(II)解:
.
(III)證明:,
所以,
.
當(dāng)時,
,
,
同時,
.
綜上,當(dāng)時,.
22.本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識,以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.滿分15分.
(I)解:.
由,得
.
因?yàn)楫?dāng)時,,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,
單調(diào)遞減區(qū)間是.
(II)證明:(i)方法一:
令,則
,
當(dāng)時,由,得,
當(dāng)時,,
所以在內(nèi)的最小值是.
故當(dāng)時,對任意正實(shí)數(shù)成立.
方法二:
對任意固定的,令,則
,
由,得.
當(dāng)時,.
當(dāng)時,,
所以當(dāng)時,取得最大值.
因此當(dāng)時,對任意正實(shí)數(shù)成立.
(ii)方法一:
.
由(i)得,對任意正實(shí)數(shù)成立.
即存在正實(shí)數(shù),使得對任意正實(shí)數(shù)成立.
下面證明的唯一性:
當(dāng),,時,
,,
由(i)得,,
再取,得,
所以,
即時,不滿足對任意都成立.
故有且僅有一個正實(shí)數(shù),
使得對任意正實(shí)數(shù)成立.
方法二:對任意,,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image318.gif">關(guān)于的最大值是,所以要使對任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是:
,
即, ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image309.gif">,不等式①成立的充分必要條件是,
所以有且僅有一個正實(shí)數(shù),
使得對任意正實(shí)數(shù)成立.