21.解:(1)由
整理得 .
又,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,得
(2)方法一:
由(1)可知,故.
那么,
又由(1)知且,故,
因此 為正整數(shù).
方法二:
由(1)可知,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image453.gif">,
所以 .
由可得,
即
兩邊開平方得 .
即 為正整數(shù).
全國(guó)2文17
設(shè)等比數(shù)列的公比,前項(xiàng)和為.已知,求的通項(xiàng)公式.
解:由題設(shè)知,
則 ②
由②得,,,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image458.gif">,解得或.
當(dāng)時(shí),代入①得,通項(xiàng)公式;
當(dāng)時(shí),代入①得,通項(xiàng)公式.
全國(guó)1理22
已知數(shù)列中,,.
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列中,,,
證明:,.
解:(Ⅰ)由題設(shè):
,
.
所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
,
即的通項(xiàng)公式為,.
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(ⅰ)當(dāng)時(shí),因,,所以
,結(jié)論成立.
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,
也即.
當(dāng)時(shí),
,
又,
所以
.
也就是說(shuō),當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.
根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知,.
全國(guó)1文21
設(shè)是等差數(shù)列,是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,
(Ⅰ)求,的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解:(Ⅰ)設(shè)的公差為,的公比為,則依題意有且
解得,.
所以,
.
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.
遼寧理21
已知數(shù)列,與函數(shù),,滿足條件:
,.
(I)若,,,存在,求的取值范圍;
(II)若函數(shù)為上的增函數(shù),,,,證明對(duì)任意,(用表示).
江西理22
設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足:,且對(duì)于任何,有.
(1)求,;
(3)求數(shù)列的通項(xiàng).
解:(1)據(jù)條件得 ①
當(dāng)時(shí),由,即有,
解得.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image083.gif">為正整數(shù),故.
當(dāng)時(shí),由,
解得,所以.
(2)方法一:由,,,猜想:.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
1當(dāng),時(shí),由(1)知均成立;
2假設(shè)成立,則,則時(shí)
由①得
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image367.gif">時(shí),,所以.
,所以.
又,所以.
故,即時(shí),成立.
由1,2知,對(duì)任意,.
(2)方法二:
由,,,猜想:.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
1當(dāng),時(shí),由(1)知均成立;
2假設(shè)成立,則,則時(shí)
由①得
即 ?、?/p>
由②左式,得,即,因?yàn)閮啥藶檎麛?shù),
則.于是 ?、?/p>
又由②右式,.
則.
因?yàn)閮啥藶檎麛?shù),則,
所以.
又因時(shí),為正整數(shù),則 ?、?/p>
據(jù)③④,即時(shí),成立.
由1,2知,對(duì)任意,.
江西文21
設(shè)為等比數(shù)列,,.
(1)求最小的自然數(shù),使;
(2)求和:.
解:(1)由已知條件得,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image567.gif">,所以,使成立的最小自然數(shù).
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image569.gif">,…………①
,…………②
得:
所以.
江蘇理20
已知 是等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列,,記為數(shù)列的前項(xiàng)和,
(1)若是大于的正整數(shù),求證:;(4分)
(2)若是某一正整數(shù),求證:是整數(shù),且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng);(8分)
(3)是否存在這樣的正數(shù),使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在,寫出一個(gè)的值,并加以說(shuō)明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4分)
解:設(shè)的公差為,由,知,()
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image584.gif">,所以,
,
所以
(2),由,
所以解得,或,但,所以,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image281.gif">是正整數(shù),所以是整數(shù),即是整數(shù),設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為
,設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù),使得,即在方程中有正整數(shù)解即可,,所以
,若,則,那么,當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image607.gif">,只要考慮的情況,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image589.gif">,所以,因此是正整數(shù),所以是正整數(shù),因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為
與數(shù)列的第項(xiàng)相等,從而結(jié)論成立。
(3)設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列,則有
2設(shè),所以2,令,則,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image593.gif">,所以,所以,即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。
湖南理21
已知()是曲線上的點(diǎn),,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足,,….
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)確定的取值集合,使時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;
(III)證明:當(dāng)時(shí),弦()的斜率隨單調(diào)遞增
解:(I)當(dāng)時(shí),由已知得.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image634.gif">,所以. …… ①
于是. ……②
由②-①得. …… ③
于是. …… ④
由④-③得, …… ⑤
所以,即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有,所以.由③有,,所以,.
而 ⑤表明:數(shù)列和分別是以,為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列,
所以,,,
數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立.
且
.
即所求的取值集合是.
(III)解法一:弦的斜率為
任取,設(shè)函數(shù),則
記,則,
當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,在上為減函數(shù),
所以時(shí),,從而,所以在和上都是增函數(shù).
由(II)知,時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,
取,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image676.gif">,所以.
取,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image676.gif">,所以.
所以,即弦的斜率隨單調(diào)遞增.
解法二:設(shè)函數(shù),同解法一得,在和上都是增函數(shù),
所以,.
故,即弦的斜率隨單調(diào)遞增.
湖南文20
設(shè)是數(shù)列()的前項(xiàng)和,,且,,.
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)試找出一個(gè)奇數(shù),使以18為首項(xiàng),7為公比的等比數(shù)列()中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng),并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng).
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