1.()函數(shù)y=-x.cosx的部分圖象是( )
2.()函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù)
C.僅有最大值的偶函數(shù) D.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)
3.()函數(shù)f(x)=()|cosx|在[-π,π]上的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)________.
4.()設(shè)ω>0,若函數(shù)f(x)=2sinωx在[-,]上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是_________.
5.()設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實(shí)數(shù)恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.
(1)求證:b+c=-1;
(2)求證c≥3;
(3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8,求b,c的值.
6.()用一塊長(zhǎng)為a,寬為b(a>b)的矩形木板,在二面角為α的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的谷倉(cāng),試問(wèn)應(yīng)怎樣圍才能使谷倉(cāng)的容積最大?并求出谷倉(cāng)容積的最大值.
7.()有一塊半徑為R,中心角為45°的扇形鐵皮材料,為了獲取面積最大的矩形鐵皮,工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上,然后作其最大內(nèi)接矩形,試問(wèn):工人師傅是怎樣選擇矩形的四點(diǎn)的?并求出最大面積值.
8.()設(shè)-≤x≤,求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值.
9.()是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x+a.cosx+a-在閉區(qū)間[0,]上的最大值是1?若存在,求出對(duì)應(yīng)的a值;若不存在,試說(shuō)明理由.
難點(diǎn)15 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來(lái).本節(jié)主要幫助考生掌握?qǐng)D象和性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用. ●難點(diǎn)磁場(chǎng) ()已知α、β為銳角,且x(α+β-)>0,試證不等式f(x)=x<2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立. ●案例探究 [例1]設(shè)z1=m+(2-m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R,已知z1=2z2,求λ的取值范圍. 命題意圖:本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查考生的綜合分析問(wèn)題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的參考答案
參考答案
難點(diǎn)磁場(chǎng)
證明:若x>0,則α+β>∵α、β為銳角,∴0<-α<β<;0<-β<,∴0<sin(-α)<sinβ.0<sin(-β)<sinα,∴0<cosα<sinβ,0<cosβ<sinα,∴0<<1,0<<1,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)<f(0)=2.若x<0,α+β<,∵α、β為銳角,0<β<-α<,0<α<-β<,0<sinβ<sin(-α),∴sinβ<cosα,0<sinα<sin(-β),∴sinα<cosβ,∴>1, >1,
∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∴f(x)<f(0)=2,∴結(jié)論成立.
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:函數(shù)y=-xcosx是奇函數(shù),圖象不可能是A和C,又當(dāng)x∈(0, )時(shí),
y<0.
答案:D
2.解析:f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x-1+cosx
=2[(cosx+]-1.
答案:D
二、3.解:在[-π,π]上,y=|c(diǎn)osx|的單調(diào)遞增區(qū)間是[-,0]及[,π].而f(x)依|c(diǎn)osx|取值的遞增而遞減,故[-,0]及[,π]為f(x)的遞減區(qū)間.
4.解:由-≤ωx≤,得f(x)的遞增區(qū)間為[-,],由題設(shè)得
三、5.解:(1)∵-1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立,∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.
從而知f(1)=0∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因?yàn)?i>b+c=-1,∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α+(-1-c)sinα+c=(sinα-)2+c-()2,
當(dāng)sinα=-1時(shí),[f(sinα)]max=8,由解得b=-4,c=3.
6.解:如圖,設(shè)矩形木板的長(zhǎng)邊AB著地,并設(shè)OA=x,OB=y,則a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα=2xy(1-cosα).
∵0<α<π,∴1-cosα>0,∴xy≤ (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)),故此時(shí)谷倉(cāng)的容積的最大值V1=(xysinα)b=.同理,若木板短邊著地時(shí),谷倉(cāng)的容積V的最大值V2=ab2cos,
∵a>b,∴V1>V2
從而當(dāng)木板的長(zhǎng)邊著地,并且谷倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí),谷倉(cāng)的容積最大,其最大值為a2bcos.
7.解:如下圖,扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ,連OP,則OP=R,設(shè)∠AOP=θ,則
∠QOP=45°-θ,NP=Rsinθ,在△PQO中,,
∴PQ=Rsin(45°-θ).S矩形MNPQ=QP.NP=R2sinθsin(45°-θ)=R2.[cos(2θ-45°)-]≤R2,當(dāng)且僅當(dāng)cos(2θ-45°)=1,即θ=22.5°時(shí),S矩形MNPQ的值最大且最大值為R2.
工人師傅是這樣選點(diǎn)的,記扇形為AOB,以扇形一半徑OA為一邊,在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°,P為邊與扇形弧的交點(diǎn),自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q,并作OM⊥OA于M,則矩形MNPQ為面積最大的矩形,面積最大值為R2.
8.解:∵在[-]上,1+sinx>0和1-sinx>0恒成立,∴原函數(shù)可化為y=
log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cosx>0在[-]上恒成立,∴原函數(shù)即是y=2log2cosx,在x∈[
-]上,≤cosx≤1.
∴l(xiāng)og2≤log2cosx≤log21,即-1≤y≤0,也就是在x∈[-]上,ymax=0,
ymin=-1.
綜合上述知,存在符合題設(shè).
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