1.(人教版P85例2)
如圖1,設(shè)O是正六邊形的中心,分別寫(xiě)出
圖中與、、相等的向量。
變式1:
如圖1,設(shè)O是正六邊形的中心,分別寫(xiě)出
圖中與、共線(xiàn)的向量。
解:
變式2:
如圖2,設(shè)O是正六邊形的中心,分別寫(xiě)出
圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。
解:
2.(人教版第96頁(yè)例4)
如圖,在平行四邊形ABCD中,a ,b ,
你能用a,b表示向量 ,嗎?
變式1:如圖,在五邊形ABCDE中,
a ,b ,c ,d ,
試用a ,b , c , d表示向量和.
解:( a + b + d )
( d + a + b +c )
變式2:如圖,在平行四邊形ABCD中,若,a ,b
則下列各表述是正確的為( )
A. B.
C.a + b D.(a + b)
正確答案:選D
變式3:已知=a,=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形,則( )
A. a+b+c+d=0 B. a-b+c-d=0
C. a+b-c-d=0 D. a-b-c+d=0
正確答案:選A
變式4:在四邊形ABCD中,若,則此四邊形是( )
A.平行四邊形 B.菱形 C.梯形 D.矩形
正確答案:選C
變式5:已知a、b是非零向量,則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的 ( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
正確答案:選C
變式6:在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共線(xiàn),則四邊形ABCD為( )
A.平行四邊形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
[解析] ∵==-8a-2b=2,∴.
∴四邊形ABCD為梯形.
正確答案:選C
變式7:已知菱形ABCD,點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上(不包括端點(diǎn)A、C),則等于( )
A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(),λ∈(0,)
[解析] 由向量的運(yùn)算法則=+,而點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上,所以與同向,且||<||,∴=λ(+),λ∈(0,1).
正確答案:選 A
變式8:已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn),且=,=,=,則下列各式: ①=- ②= +
③=- + ?、?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384168_1/image037.gif">++=
其中正確的等式的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
正確答案:選B
3.(人教版第98頁(yè)例6)
如圖,已知任意兩個(gè)非零向量a 、b ,試作a + b,a + 2b,
a + 3b,你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎?為什么?
變式1:已知a + 2b,2a + 4b,3a + 6b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ,證明:A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).
證明:∵a + 2b,2a + 4b,
∴ 所以,A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).
變式2:已知點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上,并且a + b,a + 2b,a + 3b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ,試求m、n之間的關(guān)系.
解:a + b ,a + 2b
由A、B、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上可設(shè),
則 所以 即 為所求.
4.(人教版第102頁(yè)第13題)
已知四邊形ABCD,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),求證:
變式1:已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F,
求證:.
證明:如圖,連接EB和EC ,
由和可得, (1)
由和可得, (2)
(1)+(2)得, (3)
∵E、F分別為AD和BC的中點(diǎn),∴,,
代入(3)式得,
2.(人教版第109頁(yè)例6)
已知a = (4,2),b = (6,y),且a // b ,求 y .
變式1:與向量a = (12,5) 平行的單位向量為( )
A. B.
C. 或 D. 或
正確答案:選C
變式2:已知a,b,當(dāng)a+2b與2a-b共線(xiàn)時(shí),值為 ( )
A.1 B.2 C. D.
正確答案:選D
變式3:已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(-1,3) 與方向相反的單位向量是( )
A.(0,1) B.(0,-1) C. (-1,1) D.(1,-1)
正確答案:選A
變式4:已知a = (1,0),b = (2,1) .試問(wèn):當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí), ka-b與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向?
解:因?yàn)?i> ka-b ,a+3b.
由已知得, 解得 ,
此時(shí),ka-b ,a+3b,二者方向相反.
2.(人教版第110頁(yè)例8)
設(shè)點(diǎn)P是線(xiàn)段上的一點(diǎn),、的坐標(biāo)分別為,.
(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段上的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),求P的坐標(biāo)
變式1:已知兩點(diǎn),,,則P點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )
A. B. C. D.
正確答案:選B
變式2:如圖,設(shè)點(diǎn)P、Q是線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn),
若=a,=b,則= ,
= (用a、b表示)
5.(人教版第116頁(yè)例3)
已知|a|=6,|b| =4且a與b的夾角為,求 (a + 2b).(ab) .
變式1:已知那么與夾角為
A、 B、 C、 D、
正確答案:選C
變式2:已知向量a和b的夾角為60°,| a | = 3,| b | = 4,則(2a – b).a等于
(A)15 (B)12 (C)6 (D)3
正確答案:選B
變式3:在△ABC中,已知||=4,||=1,S△ABC=,則.等于( )
A.-2 B.2 C.±2 D.±4
正確答案:選C
變式4:設(shè)向量與向量的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解:∵,故,
解之?。?
另有,解之,
∴.
2.(人教版第116頁(yè)例4)
已知|a|=3,|b| =4且a與b不共線(xiàn),k為何實(shí)數(shù)時(shí),向量a + kb 與ab互相垂直?
變式1:已知a⊥b ,|a|=2,|b| =3,且向量3a + 2b與kab互相垂直,則k的值為( )
A. B. C. D.1
正確答案:選B
變式2:已知|a|=1,|b| =且(a-b)⊥a,則a與b夾角的大小為 45º .
解:
2.(人教版第119頁(yè) 第11題)
已知a = (4,2),求與向量a 垂直的單位向量的坐標(biāo).
變式1:若i = (1,0), j =(0,1),則與2i+3j垂直的向量是 ( )
A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j
正確答案:選C
變式2:已知向量,,若與垂直,則實(shí)數(shù)=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
正確答案:選B
變式3:若非零向量互相垂直,則下列各式中一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
正確答案:選B
變式4:已知向量a=(3,-4),b=(2,x), c=(2,y)且a∥b,ac.求|b-c|的值.
解:∵ a∥b,∴ 3x+8=0. ∴x=. ∴ b=(2, ) .
∵ ac, ∴ 6-4y=0. ∴ y=. ∴ c=(2, ).
而b-c =(2,)-(2,)=(0,-),
∴ |b-c|=.
(人教版第118頁(yè)例5)
已知A (1,2),B (2,3),C (,5),試判斷的形狀,并給出證明.
變式1:是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿(mǎn)足,則 一定為( )
A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.斜三角形
正確答案:選C
變式2:已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn),O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),若++=0,
則O是△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 內(nèi)心 D. 外心
正確答案:選A
變式3:已知,則△ABC一定是 ( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
正確答案:選B
變式4:四邊形中,
(1)若,試求與滿(mǎn)足的關(guān)系式;
(2)滿(mǎn)足(1)的同時(shí)又有,求的值及四邊形的面積。
解:
(1) 則有
化簡(jiǎn)得:
(2)
又 則
化簡(jiǎn)有:
聯(lián)立
解得 或
則四邊形為對(duì)角線(xiàn)互相垂直的梯形
當(dāng)
此時(shí)
當(dāng)
此時(shí)
(人教版第121頁(yè) 例1)
題目意圖:用平面向量的方法證明平面幾何命題:平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍
變式1:如圖,矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O,點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn),
求證:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
證明: ,
,
,
,
以上各式相加可證.
變式2:已知△ABC中,,若,求證:△ABC為正三角形.
證明:, ∴, 又∵, ,
故 , 知a=b, 同理可知b=c , 故a=b=c , 得證.
變式3:已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于E,O是任意一點(diǎn),求證.
[證明] ∵E是對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn),∴.
在△OAC中,,
同理有.
四式相加可得:.
變式4:四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F,
求證:
[證法一] ∵E、F分別為DA、BC的中點(diǎn).
∴
又∵=0①
=0②
①+②,得2=0
∴2
∴
[證法二] 連結(jié)EC,EB
∵,①
②
①+②,得2+0=,
∴
又∵③
④
③+④,得
又∵=0,
∴.
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