1．有同寢室的四位同學分別寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人去拿一張，設自己拿到自己寫的賀卡的人數(shù)為
，①求的概率分布；②求的數(shù)學期望與方差.
2．有3張形狀、大小、質量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標上0、1、2?，F(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標號
，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標號為
，記
.(1)求
的分布列；(2)求
和
.
3．甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次為ξ；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為η.
(1)分別求ξ和η的期望；
(2)規(guī)定；若ξ>η，則甲獲勝，若ξ<η，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率.
4．甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92.
(1)求該題被乙獨立解出的概率；
(2)求解出該題的人數(shù)
的數(shù)學期望和方差.
5．口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標有數(shù)字1，三張標有數(shù)字2，二張標有數(shù)字3，第一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.
(Ⅰ)為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由；
(Ⅱ)求隨機變量的期望E.
6．A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子(x、y、z≥0，
且
)，B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝.
(1)用x、y、z表示B勝的概率；
(2)當A如何調整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？
7．某中學有5名體育類考生要到某大學參加體育專業(yè)測試，學校指派一名教師帶隊，已知每位考生測試合格的概率都是
，
(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位，求體育教師不坐后排的概率；
(2)若5人中恰有r人合格的概率為
，求r的值；
(3)記測試合格的人數(shù)為，求的期望和方差.
8．袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中任取一個球，直到取到白球為止.
(Ⅰ)當每次取出的黑球不再放回時，求取球次數(shù)的數(shù)學期望與方差；
(Ⅱ)當每次取出的黑球仍放回去時，求取球次數(shù)的數(shù)學期望與方差.
9．從分別寫有
的九張卡片中，任意抽取兩張，計算：
(Ⅰ)卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率；
(Ⅱ)當兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時，就說這次試驗成功，求在15次試驗中成功次數(shù)
的數(shù)學期望.
10．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。
(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學期望，
(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.
11．學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且
．(I) 求文娛隊的人數(shù)；(II) 寫出的概率分布列并計算
．
12．某中學籃球隊進行投籃訓練，每人在一輪練習中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習，否則一直投到4次為止.已知運動員甲的投籃命中率為0.7.
(1) 求一輪練習中運動員甲的投籃次數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ(結果保留兩位有效數(shù)字)；
(2) 求一輪練習中運動員甲至少投籃3次的概率.
13．甲、乙兩名射擊運動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為
，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們各自獨立地射擊兩次，設乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ，且ξ的數(shù)學期望Eξ=
，
表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.
(1)求s的值及的分布列， (2)求的數(shù)學期望.
概率解答題練習
1．有同寢室的四位同學分別寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人去拿一張，設自己拿到自己寫的賀卡的人數(shù)為，①求的概率分布；②求的數(shù)學期望與方差.
1．解：(1)分布列
 |
0 |
1 |
2 |
4 |
 |
 |
 |
 |
 |
(2)
.
2．有3張形狀、大小、質量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標上0、1、2?，F(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標號，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標號為，記。(1)求的分布列；(2)求和。
解：(1)可能取的值為0、1、2、4?！ ?……(2分)
且
，
，
，
……(6分)
所求的分布列為：
|
|
0 |
1 |
2 |
4 |
 |
 |
 |
 |
|
……(8分)
(2)由(1)可知，
……(11分)
……(14分)
3．(本題滿分14分)甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次為ξ；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為η.
(1)分別求ξ和η的期望；
(2)規(guī)定；若ξ>η，則甲獲勝，若ξ<η，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率.
解
ξ的可能取值為0，1，2，3則ξ的分布列為
|
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
 |
 |
 |
|
|
則Eξ
η的可能取值為0，1，2則η的分布列為
|
η |
0 |
1 |
2 |
|
|
 |
 |
 |
則Eη=
所以ξ、η的數(shù)學期望分別為
、1
(2)P(ξ>η)=
P(ξ<η)=
所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為
。
4．甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92.
(1)求該題被乙獨立解出的概率；
(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學期望和方差.
解：(1)記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.
設甲獨立解出此題的概率為P1，乙為P2.(2分)
則P(A)=P1=0.6,P(B)=P2
|
|
0 |
1 |
2 |
|
P |
0.08 |
0.44 |
0.48 |
5．口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標有數(shù)字1，三張標有數(shù)字2，二張標有數(shù)字3，第一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.
(Ⅰ)為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由；
(Ⅱ)求隨機變量的期望E。
解(I)依題意，隨機變量的取值是2、3、4、5、6…………2分
因為P(=2)=
；P(=3)=
P(=4)=
；P(=5)=
；
P(=6)=
；…………7分
所以，當=4時，其發(fā)生的概率P(=4)=
最大…………8分
(Ⅱ)E=
………………12分
6．(本小題滿分12分)A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子(x、y、z≥0，
且)，B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝.
(1)用x、y、z表示B勝的概率；
(2)當A如何調整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？
解：(1)顯然A勝與B勝為對立事件，A勝分為三個基本事件：
①A1：“A、B均取紅球”；②A2：“A、B均取白球”；③A3：“A、B均取黃球”.
(2)由(1)知
，
于是
，即A在箱中只放6
個紅球時，獲勝概率最大，其值為
7．某中學有5名體育類考生要到某大學參加體育專業(yè)測試，學校指派一名教師帶隊，已知每位考生測試合格的概率都是，
(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位，求體育教師不坐后排的概率；
(2)若5人中恰有r人合格的概率為，求r的值；
(3)記測試合格的人數(shù)為，求的期望和方差。
解：(1)體育教師不坐后排記為事件A，則
。
(2)每位考生測試合格的概率
，測試不合格的概率為
則
，即
，
∴
，
(3)∵-
∴ 
8．袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中任取一個球，直到取到白球為止.
(Ⅰ)當每次取出的黑球不再放回時，求取球次數(shù)的數(shù)學期望與方差；
(Ⅱ)當每次取出的黑球仍放回去時，求取球次數(shù)的數(shù)學期望與方差。
解(Ⅰ)當每次取出的黑球不再放回時，設隨機變量是取球次數(shù)，因為每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值為1，2，3，4，5，易知
，
，
故隨機變量的概率分布列為：
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
P |
 |
|
|
|
|
…………….6分
(Ⅱ)當每次取出的黑球仍放回去時，設隨機變量
是取球次數(shù)，因為每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整數(shù)，
所求概率分布為
|
|
1 |
2 |
3 |
… |
n |
… |
|
P |
|
 |
 |
… |
 |
… |
9．從分別寫有的九張卡片中，任意抽取兩張，計算：
(Ⅰ)卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率；
(Ⅱ)當兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時，就說這次試驗成功，求在15次試驗中
成功次數(shù)的數(shù)學期望。
(Ⅰ)
；
(Ⅱ)一次試驗成功的概率為
，從而
，故
。
10．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。
(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學期望。
(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。
解：(Ⅰ)依題意，甲答對試題數(shù)的概率分布如下：
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
 |
 |
 |
|
 |
…………4分
甲答對試題數(shù)的數(shù)學期望：
……………………………………4分
(Ⅱ)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為
則
…………………理9分(文6分)
甲、乙兩人考試均不合格的概率為：
∴甲、乙兩人至少一個合格的概率為
………理文均12分
11．學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且．
(I) 求文娛隊的人數(shù)；
(II) 寫出的概率分布列并計算．
解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有(7-x)人，那么只會一項的人數(shù)是
(7-2 x)人．
(I)∵
，
∴
．……………………………………3分
即
．
∴
．
∴x=2． ……………………………………5分
故文娛隊共有5人．……………………………………7分
(II) 的概率分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
|
P |
|
 |
 |
，……………………………………9分
，……………………………………11分
∴
=1．
…………………………13分
12．某中學籃球隊進行投籃訓練，每人在一輪練習中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習，否則一直投到4次為止.已知運動員甲的投籃命中率為0.7.
(3) 求一輪練習中運動員甲的投籃次數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ(結果保留兩位有效數(shù)字)；
(4) 求一輪練習中運動員甲至少投籃3次的概率.
解：(1)ξ的可能取值為1，2，3，4，
ξ=1時，P(ξ=1)=0.7
ξ=2時，P(ξ=2)=0.7(1-0.7)=0.21;
ξ=3時，P(ξ=3)=0.7(1-0.7)2=0.063
ξ=4時，P(ξ=4)=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.
∴ξ的分布為
|
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
0.7 |
0.21 |
0.063 |
0.027 |
∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4
(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09
13.甲、乙兩名射擊運動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們各自獨立地射擊兩次，設乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ，且ξ的數(shù)學期望Eξ=，表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.
(1)求s的值及的分布列，
(2)求的數(shù)學期望.
解:(1)依題意知ξ∽B(2，s)，故Eξ=2s=，
∴s=．
…………2分
的取值可以是0，1，2.
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為0次的概率是
，
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為1次的概率是
，
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為2次的概率是
，
∴
(
=0)=
．
…………6分
甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是
，
甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是．
∴
(=2)=
=
，
∴(=1)=1
(=0)(=2)=
． ………10分
故的分布列是
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
 |
|
|
………12分
(2)E=
．
…………14分