3、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果+是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1+λ2,稱λ1λ+λ2為,的線性組合。
根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對(λ1,λ2)一一對應(yīng),稱(λ1,λ2)為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時定義(λ1,λ2)為向量的平面直角坐標(biāo)。
向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點在原點時,定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo),即若A(x,y),則=(x,y);當(dāng)向量起點不在原點時,向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo),即若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1)
(2)兩個向量平行的充要條件
符號語言:若∥,≠,則=λ
坐標(biāo)語言為:設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在這里,實數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時,λ>0;當(dāng)與異向時,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。
(3)兩個向量垂直的充要條件 符號語言:⊥.=0
坐標(biāo)語言:設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2),則⊥x1x2+y1y2=0
(4)線段定比分點公式
如圖,設(shè)
則定比分點向量式:
定比分點坐標(biāo)式:設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
則
特例:當(dāng)λ=1時,就得到中點公式:
,
實際上,對于起點相同,終點共線三個向量,,(O與P1P2不共線),總有=u+v,u+v=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數(shù)和為1。
(5)平移公式:
①點平移公式,如果點P(x,y)按=(h,k)平移至P’(x’,y’),則
分別稱(x,y),(x’,y’)為舊、新坐標(biāo),為平移法則
在點P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)
②圖形平移:設(shè)曲線C:y=f(x)按=(h,k)平移,則平移后曲線C’對應(yīng)的解析式為y-k=f(x-h)
當(dāng)h,k中有一個為零時,就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移
利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:余弦定理:a2=b2+c2-2cbcosA
b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc
定理變形:cosA=,cosB=,cosC=