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16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).求:
(I)函數(shù)的最小正周期;
(II)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
高考數(shù)學(xué)招生適應(yīng)性考試試卷
數(shù)學(xué)(文史類)參考答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在橫線上.
11.
12.
13.3
14.(1)(2)
15.,
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.解:
.
(I)函數(shù)的最小正周期是;
(II)當(dāng),即()時(shí),函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
17.解:任選1名下崗人員,記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件,“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件,由題設(shè)知,事件與相互獨(dú)立,且,.
(I)解法一:任選1名下崗人員,該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是
所以該人參加過培訓(xùn)的概率是.
解法二:任選1名下崗人員,該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是
該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是.
所以該人參加過培訓(xùn)的概率是.
(II)解法一:任選3名下崗人員,3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是
.
3人都參加過培訓(xùn)的概率是.
所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是.
解法二:任選3名下崗人員,3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是
.
3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是.
所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是.
18.解:(I)在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn),連結(jié).
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383840_1/image159.gif">,,所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383840_1/image091.gif">,所以.
而,所以,,從而,又,
所以平面.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383840_1/image169.gif">平面,故.
(II)解法一:由(I)知,,又,,,所以.
過點(diǎn)作于點(diǎn),連結(jié),由三垂線定理知,.
故是二面角的平面角.
由(I)知,,所以是和平面所成的角,則,
不妨設(shè),則,.
在中,,所以,
于是在中,.
故二面角的大小為.
解法二:由(I)知,,,,故可以為原點(diǎn),分別以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383840_1/image195.gif">,所以是和平面所成的角,則.
不妨設(shè),則,.
在中,,
所以.
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是
,,,.
所以,.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,由得
取,得.
易知是平面的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角的平面角為,由圖可知,.
所以.
故二面角的大小為.
19.解:由條件知,設(shè),.
(I)當(dāng)與軸垂直時(shí),可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,
此時(shí).
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入,有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,,
于是
.
綜上所述,為常數(shù).
(II)解法一:設(shè),則,,
,,由得:
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383840_1/image101.gif">兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡(jiǎn)得.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程是.
20.解:(I)當(dāng)時(shí),由已知得.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383840_1/image261.gif">,所以. …………………………①
于是. …………………………………………………②
由②-①得:.……………………………………………③
于是.……………………………………………………④
由④-③得:.…………………………………………………⑤
即數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有,所以.
由③有,所以,
而⑤表明:數(shù)列和分別是以,為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列.
所以,,.
由題設(shè)知,.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為奇數(shù),而為偶數(shù),所以不是數(shù)列中的項(xiàng),只可能是數(shù)列中的項(xiàng).
若是數(shù)列中的第項(xiàng),由得,取,得,此時(shí),由,得,,從而是數(shù)列中的第項(xiàng).
(注:考生取滿足,的任一奇數(shù),說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可)
21.解:(I)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間,內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn),所以在,內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根,
設(shè)兩實(shí)根為(),則,且.于是
,,且當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立.故的最大值是16.
(II)解法一:由知在點(diǎn)處的切線的方程是
,即,
因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處空過的圖象,
所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào),則
不是的極值點(diǎn).
而,且
.
若,則和都是的極值點(diǎn).
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.
因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象,所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào),于是存在().
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;
或當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
設(shè),則
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;
或當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
由知是的一個(gè)極值點(diǎn),則,
所以,又由,得,故.
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