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[例8] (07年北京) 如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長
為,短半軸長為,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下
底是半橢圓的短軸,上底的端點(diǎn)在橢圓上,記,梯形面積為.
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域;
(II)求面積的最大值.
[解答](I)依題意,以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖),則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程,
解得,,
所以,
,定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383928_1/image053.gif">.
(II)記,
則,.
令,得.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以 是的最大值.
因此,當(dāng)時(shí),也取得最大值,最大值為.
即梯形面積的最大值為.
[說明] 該題以橢圓為載體,以函數(shù)思想為靈魂,以不等式、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等為工具,非常自然地將解析幾何與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)等重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)交匯融為一體,無矯揉造作之嫌,是近年來較為成功的試題之一.
[例9] (07年上海) 已知函數(shù),常數(shù).
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
[解答] (1)當(dāng)時(shí),,
對(duì)任意,,
為偶函數(shù).
當(dāng)時(shí),,
取,得 ,
,
函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)解法一:設(shè),
,
要使函數(shù)在上為增函數(shù),必須恒成立.
,即恒成立.
又,.
的取值范圍是.
解法二:當(dāng)時(shí),,顯然在為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),反比例函數(shù)在為增函數(shù),
在為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),同解法一.
[說明] 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)問題,尤其是單調(diào)性的定義法證明更要引起注意.
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