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11.函數(shù)與的圖象所圍成封閉圖形的面積為 .
數(shù)學(xué)試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(理科1)
一、選擇題(每題5分,共40分)
序號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答案 |
A |
B |
D |
B |
C |
A |
D |
C |
二、填空題(每題5分,共30分)
9.. 10.3m與1.5m. 11..
12.(或為正整數(shù)).注:填以及是否注明字母的取值符號(hào)和關(guān)系,均不扣分;
若填或可給3分.
13.. 14.<.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15. 解:(1) ……………………………………………………2分
………………………………………………………………………………………………4分
. …………………………………………………………………………………………………………6分
的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分
(2) ∵,∴ …………………………………………………………………8分
∴當(dāng)即時(shí),函數(shù)取得最小值是. ………………………10分
∵,∴. …………………………………………………………………………………………………12分
16. 方法一:(2) 證明:當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),,從而為等腰直角三角形,則,同理可得,∴,于是,…2分
又,且,∴,…………………………………………4分
∴,又,∴. …………………………………………………6分
(也可以利用三垂線定理證明,但必需指明三垂線定理)
(2) 如圖過作于,連,則,
∴為二面角的平面角. ………8分
設(shè),則.
于是 …………………………………………………………10分
,有
解之得。
點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處. …………………………………………………………………………12分
方法二、向量方法.以為原點(diǎn),所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖. …………………………1分
(1)不妨設(shè),則,
從而,………………………4分
于是,
所以所以 …………………………………………………………………………………6分
(2)設(shè),則,
則.………………………………………………………………………………8分
易知向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為,則應(yīng)有
即解之得,令則,,
從而,………………………………………………………………………………………………………10分
依題意,即,解之得(舍去),
所以點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處.…………………………………………………………………12分
17. 解:(1)由,令,則,又,所以.
,則. ……………………………………………………………………………………2分
當(dāng)時(shí),由,可得.
即. …………………………………………………………………………………………………………………………4分
所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,于是. …………5分
(2)數(shù)列為等差數(shù)列,公差,可得. ………………7分
從而. ……………………………………………………………………………………8分
∴ ……………10分
∴. …………………11分
從而. …………………………………………………………………………14分
18.(1)如圖,設(shè)為動(dòng)圓圓心, ,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,由題意知:, ………………………………………………2分
即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等,由拋物線的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線,其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線, ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ………………………5分
(2)由題可設(shè)直線的方程為,
由得
△, ………………………………………………………………………………7分
設(shè),,則,……………………………………………9分
由,即 ,,于是,……11分
即,,
,解得或(舍去),…………………………………13分
又, ∴ 直線存在,其方程為 ………………………………………14分
19. 解:(1)這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀,則需要先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng),種數(shù)是(或),然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng),種數(shù)是。根據(jù)乘法原理,滿足條件的種數(shù)是?! ?分
這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有?! ?分
故所求的概率. ………………………………………………………………………………6分
(2) 變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是
、.
可以看出,物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高度正相關(guān). …………………………8分
(3) 設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是、.
根據(jù)所給的數(shù)據(jù),可以計(jì)算出,
. ……………………………………………………10分
所以y與x和z與x的回歸方程分別是
、. …………………………………………………………11分
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是、. ……13分
故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. …14分
20. (Ⅰ)由,得 ……………………………………2分
函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分
令,上述問題等價(jià)于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求. …………………………………………………………6分
(Ⅱ)證明:由 得
……………………………………………………………………………7分
………………………………………………………………8分
而 ① ………………………………………10分
又, ∴ ② …………11分
∵ ∴,
∵ ∴ ③ ……………………………………………………………………13分
由①、②、③得
即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù). …………14分
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