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20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(1) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2) 若在上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
數(shù)學(xué)試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(文科1)
一、選擇題(每題5分,共40分)
序號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
答案 |
C |
D |
D |
A |
C |
B |
A |
B |
C |
D |
二、填空題(每題5分,共30分)
11.<< 12. 13.
14.(或為正整數(shù))注:填以及是否注明字母的取值符號(hào)和關(guān)系,均不扣分.
三、解答題(滿分80分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明和演算步驟).
15. 解:∵, ……………………………………………4分
∴當(dāng)即時(shí), ……………………………………………6分
取得最大值2. ……………………………………………………………………………………………8分
此時(shí),,故,………………………………………11分
∴和的夾角是0. …………………………………………………………………………………………12分
注:也可以由和同向來(lái)說(shuō)明.
16.解:(1) 證明:連結(jié)AF,
∵在矩形ABCD中,,F是線段BC的中點(diǎn),
∴AF⊥FD. …………………………………………………………………3分
又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD. …………………………………4分
∴平面PAF⊥FD. …………………………………………………………5分
∴PF⊥FD. …………………………………………………………………6分
(2) 過(guò)E作EH∥FD交AD于H,則EH∥平面PFD且. …………9分
再過(guò)H作HG∥DP交PA于G,則HG∥平面PFD且. ……………11分
∴平面EHG∥平面PFD.
∴EG∥平面PFD. ……………………………………………………………………………………………13分
從而滿足的點(diǎn)G為所找. ………………………………………………………………14分
注:1. 也可以延長(zhǎng)DF、AB交于R,然后找EG∥PR進(jìn)行處理)
2. 本題也可用向量法解.
17.解:將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為,則此圓的圓心為(0 , 4),半徑為2.
(1) 若直線與圓C相切,則有. ………………………………………………3分
解得. ……………………………………………………………………………………………………5分
(2) 解法一:過(guò)圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得
……………………………………………………………………………8分
解得. ………………………………………………………………………………………………10分
(解法二:聯(lián)立方程并消去,得
.
設(shè)此方程的兩根分別為、,則用即可求出a.)
∴直線的方程是和. ………………………………………12分
18.解:(1)由,令,則,又,所以.
由,得.
由,得. ……………………………………………………………………3分
(2)方法一:當(dāng)時(shí),由,可得.
即. …………………………………………………………………………………………………………………………5分
所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,于是. ……………6分
方法二:由(1)歸納可得,,它適合.
所以. ……………………………………………………………………………………………………………5分
注:方法二扣1分.
(3)數(shù)列為等差數(shù)列,公差,可得. ……………8分
從而,………………………………………………9分
∴ ……………10分
∴. …………………11分
∴. ……………………………………………………………14分
19.解:(1) 由表中可以看出,所選出的8位同學(xué)中,數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)是3人,其概率是. ………………………………………………………………………………………………………3分
(2) 變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是
、. ……………………………………………5分
可以看出,物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高度正相關(guān). …………………………6分
(3) 設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是、.
根據(jù)所給的數(shù)據(jù),可以計(jì)算出,
. ……………………………………………………10分
所以y與x和z與x的回歸方程分別是
、. …………………………………………………………11分
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是、. ……13分
故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. …14分
20.解:(1) 易知,函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383942_1/image157.gif">. ……………………………………………1分
當(dāng)時(shí),. ……………………………………………2分
當(dāng)x變化時(shí),和的值的變化情況如下表: ……………………………………4分
x |
(0,1) |
1 |
(1,+∞) |
|
- |
0 |
+ |
|
遞減 |
極小值 |
遞增 |
由上表可知,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)、單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞)、極小值是. ……………………………………………………………………………………………………………7分
(2) 由,得. ………………………………8分
又函數(shù)為上單調(diào)函數(shù),
① 若函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立.也即在上恒成立. ………11分
又在上為減函數(shù),. ……………………12分
所以.
② 若函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù),則在上恒成立,這是不可能的. ……………………………………………………………………………………………………………………13分
綜上,的取值范圍為. ………………………………………………………………………14分
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