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19.(12分)
一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球.
(1)從中摸出兩個球,求兩球恰好顏色不同的概率;
(2)從中摸出一個球,放回后再摸出一個球,求兩球恰好顏色不同的概率.
注意:考生在(20甲)、(20乙)兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以(19甲)計分.
20甲.(12分)
如圖,正三棱柱的底面邊長為a,點M在邊BC上,△是以點M為直角頂點的等腰直角三角形.
(1)求證點M為邊BC的中點;
(2)求點C到平面的距離;
(3)求二面角的大小.
20乙.(12分)
如圖,直三棱柱中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,=3a,D為的中點,E為的中點.
(1)求直線BE與所成的角;
(2)在線段上是否存在點F,使CF⊥平面,若存在,求出;若不存在,說明理由.
參考答案
1.(文)A(理)C 2.(文)A(理)B 3.C 4.(文)D(理)B 5.(文)D (理)C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C
13.33 14.7 15.18 16.只要寫出-4c,2c,c(c≠0)中一組即可,如-4,2,1等
17.
.
18.(1)由,,成等差數(shù)列,得,
若q=1,則,,
由≠0 得 ,與題意不符,所以q≠1.
由,得.
整理,得,由q≠0,1,得.
(2)由(1)知:,
,所以,,成等差數(shù)列.
19.(1)記“摸出兩個球,兩球恰好顏色不同”為A,摸出兩個球共有方法種,
其中,兩球一白一黑有種.∴ .
(2)法一:記摸出一球,放回后再摸出一個球“兩球恰好顏色不同”為B,摸出一球得白球的概率為,摸出一球得黑球的概率為,
∴ P(B)=0.4×0.6+0.6+×0.4=0.48
法二:“有放回摸兩次,顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”.
∴
∴ “有放回摸兩次,顏色不同”的概率為.
20.(甲)(1)∵ △為以點M為直角頂點的等腰直角三角形,∴ 且.
∵ 正三棱柱, ∴ 底面ABC.
∴ 在底面內(nèi)的射影為CM,AM⊥CM.
∵ 底面ABC為邊長為a的正三角形, ∴ 點M為BC邊的中點.
(2)過點C作CH⊥,由(1)知AM⊥且AM⊥CM,
∴ AM⊥平面 ∵ CH在平面內(nèi), ∴ CH⊥AM,
∴ CH⊥平面,由(1)知,,且.
∴ . ∴ .
∴ 點C到平面的距離為底面邊長為.
(3)過點C作CI⊥于I,連HI, ∵ CH⊥平面,
∴ HI為CI在平面內(nèi)的射影,
∴ HI⊥,∠CIH是二面角的平面角.
在直角三角形中,
,,
∴ ∠CIH=45°, ∴ 二面角的大小為45°
(乙)(1)以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
∵ AC=2a,∠ABC=90°,
∴ .
∴ B(0,0,0),C(0,,0),A(,0,0),
(,0,3a),(0,,3a),(0,0,3a).
∴ ,,,,,,
∴ ,,,,,.
∴ ,, ∴ ,
∴ . 故BE與所成的角為.
(2)假設(shè)存在點F,要使CF⊥平面,只要且.
不妨設(shè)AF=b,則F(,0,b),,,,,0,,,,, ∵ , ∴ 恒成立.
或,
故當(dāng)或2a時,平面.
21.(1)法一:l:,解得,.
∵ 、、成等比數(shù)列,
∴ , ∴ , ,,,,
∴ ,. ∴
法二:同上得,.
∴ PA⊥x軸.. ∴ .
(2) ∴ .
即 , ∵ ,
∴ ,即 ,. ∴ ,即 .
22.(1). 又c<b<1,
故 方程f(x)+1=0有實根,
即有實根,故△=
即或
又c<b<1,得-3<c≤-1,由知.
(2),.
∴ c<m<1 ∴ .
∴ .
∴ 的符號為正.