參考答案

一．選擇題

3. 交點(diǎn)的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)等于在x、y各取兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的個(gè)數(shù)

二.填空題

11. (1，0)

12. ①③

13. a＜b

14. 3

15. 　

三.解答題

16. (1)由題意得：a+b＝(cos α+cos β，sin α+sin β) a－b＝(cos α－cos β， sin α－sin β)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分 ∴(a+b).(a－b)＝(cos α+cos β)(cos α－cos β)+(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝cos²α－cos²β+sin²α－sin²β＝1－1＝0 ∴a+b 與a－b互相垂直．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2) 方法一：ka+b＝(kcos α+cos β，ksin α+sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β， sin α－ksin β)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 | ka+b |＝，| a－kb |＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分 由題意，得4cos (β－α)＝0，因?yàn)?＜α＜β＜π ，所以β－α＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

方法二：由| ka+b |＝| a－kb |得：| ka+b |²＝| a－kb |² 即(ka+b )²＝( a－kb )²，k²| a |²+2ka×b+| b |²＝| a |²－2ka×b+k²| b |²　 8分 由于| a |＝1，| b |＝1 ∴k²+2ka×b+1＝1－2ka×b+k²，故a×b＝0， 即(cos，sin)× (cos，sin)＝0 10分 Þ　 因?yàn)?＜α＜β＜π ，所以β－α＝．　　　　　 12分

17. (I)0.514　　 (II)0.224

18. (Ⅰ)證明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D為AC的中點(diǎn)，則△ABD是等邊三角形

又E是BD的中點(diǎn)，∵BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF

∵BD面BCD，∴面AEF⊥面BCD　　　　

(Ⅱ)解：過A作AP⊥面BCD于P，則P在FE的延長線上，設(shè)BP與CD相交于Q，

令AB=1，則△ABD是邊長為1的等邊三角形，若AB⊥CD，則BQ⊥CD

由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角，

19. 設(shè),則f(t)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為,屬于,故f(t)在上是減函數(shù),在為增函數(shù),所以最小值在達(dá)到,為,當(dāng)時(shí)達(dá)到最小值,該函數(shù)沒有最大值

20. (1)依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.

假設(shè)存在點(diǎn)C(－1，y)，使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

(ii)解法一：設(shè)C(－1，y)使△ABC成鈍角三角形，

，

，

∠CAB為鈍角.

.　　

該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是:

.

解法二： 以AB為直徑的圓的方程為:

.

當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G 點(diǎn)不重合，且A，

B，C三點(diǎn)不共線時(shí)， ∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

.

.

A，B，C三點(diǎn)共 線，不構(gòu)成三角形.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是：

21. (1)設(shè)P(x,y)是y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)，

關(guān)于(0.5，－0.5)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為:(1-x,-1-y)

∴－1-y＝f(1－x)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0.5，－0.5)對稱.

(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1

則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3　　

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)n=1時(shí)，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立

當(dāng)n=2時(shí)，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立

令n=k(k≥2)不等式成立即3k＞k2

則n＝k+1時(shí)，左＝3k+1＝3.3k＞3.k2

右＝(k+1)2＝k2+2k+1

∵3k2－(k2+2k+1)＝2k2－2k－1＝2(k－0.5)2－1.5

當(dāng)k≥2，k∈N時(shí)，上式恒為正值

則左＞右，即3k+1＞(k+1)2，所以對任何自然數(shù)n，總有3n＞n2成立，即對任何自然數(shù)n，總有bn＞n2成立