14.(湖北理科21)(本小題滿分14分)
已知m,n為正整數(shù).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時(shí),(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)對于n≥6,已知,求證,m=1,1,2…,n;
(Ⅲ)求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.
解:(Ⅰ)證:當(dāng)x=0或m=1時(shí),原不等式中等號(hào)顯然成立,下用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)x>-1,且x≠0時(shí),m≥2,(1+x)m>1+mx.
1
(i)當(dāng)m=2時(shí),左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤≠0,所以x2>0,即左邊>右邊,不等式①成立;
(ii)假設(shè)當(dāng)m=k(k≥2)時(shí),不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí),因?yàn)閤>-1,所以1+x>0.又因?yàn)閤≠0,k≥2,所以kx2>0.
于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得
(1+x)k.(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即當(dāng)m=k+1時(shí),不等式①也成立.
綜上所述,所證不等式成立.
(Ⅱ)證:當(dāng)
而由(Ⅰ),
(Ⅲ)解:假設(shè)存在正整數(shù)成立,
即有()+=1.?、?
又由(Ⅱ)可得
()+
+與②式矛盾,
故當(dāng)n≥6時(shí),不存在滿足該等式的正整數(shù)n.
故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形;
當(dāng)n=1時(shí),3≠4,等式不成立;
當(dāng)n=2時(shí),32+42=52,等式成立;
當(dāng)n=3時(shí),33+43+53=63,等式成立;
當(dāng)n=4時(shí),34+44+54+64為偶數(shù),而74為奇數(shù),故34+44+54+64≠74,等式不成立;
當(dāng)n=5時(shí),同n=4的情形可分析出,等式不成立.
綜上,所求的n只有n=2,3.
15(湖南理科2).不等式的解集是( D )
A. B. C. D.
16(湖南理科14).設(shè)集合,,,
(1)的取值范圍是
;
(2)若,且的最大值為9,則的值是
.
(1)(2)