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7.在上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且,若在區(qū)間上是減函數(shù),則( )
A.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)
數(shù)學(理工類)參考解答
一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算.每小題5分,滿分50分.
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C
6.D 7.B 8.B 9.A 10.A
二、填空題:本題考查基本知識和基本運算.每小題4分,滿分24分.
11.2 12. 13.3
14. 15. 16.390
三、解答題
17.本小題考查三角函數(shù)中的誘導公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識,考查基本運算能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:.
因此,函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅱ)解法一:因為在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,,,
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
解法二:作函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下:
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
18.本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望等基礎知識,考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件相互獨立,且,.
故取出的4個球均為黑球的概率為.
(Ⅱ)解:設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球”為事件,“從甲盒內(nèi)取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件互斥,
且,.
故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為.
(Ⅲ)解:可能的取值為.由(Ⅰ),(Ⅱ)得,,
.從而.
的分布列為
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0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
的數(shù)學期望.
19.本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分12分.
(Ⅰ)證明:在四棱錐中,因底面,平面,故.
,平面.
而平面,.
(Ⅱ)證明:由,,可得.
是的中點,.
由(Ⅰ)知,,且,所以平面.
而平面,.
底面在底面內(nèi)的射影是,,.
又,綜上得平面.
(Ⅲ)解法一:過點作,垂足為,連結.則(Ⅱ)知,平面,在平面內(nèi)的射影是,則.
因此是二面角的平面角.
由已知,得.設,
可得.
在中,,,
則.
在中,.
所以二面角的大小是.
解法二:由題設底面,平面,則平面平面,交線為.
過點作,垂足為,故平面.過點作,垂足為,連結,故.因此是二面角的平面角.
由已知,可得,設,
可得.
,.
于是,.
在中,.
所以二面角的大小是.
20.本小題考查導數(shù)的幾何意義,兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎知識,考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.
(Ⅰ)解:當時,,,
又,.
所以,曲線在點處的切線方程為,
即.
(Ⅱ)解:.
由于,以下分兩種情況討論.
(1)當時,令,得到,.當變化時,的變化情況如下表:
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0 |
|
0 |
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極小值 |
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極大值 |
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所以在區(qū)間,內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).
函數(shù)在處取得極小值,且,
函數(shù)在處取得極大值,且.
(2)當時,令,得到,當變化時,的變化情況如下表:
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0 |
|
0 |
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極大值 |
|
極小值 |
|
所以在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).
函數(shù)在處取得極大值,且.
函數(shù)在處取得極小值,且.
21.本小題以數(shù)列的遞推關系式為載體,主要考查等比數(shù)列的前項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法,考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
(Ⅰ)解法一:,
,
.
由此可猜想出數(shù)列的通項公式為.
以下用數(shù)學歸納法證明.
(1)當時,,等式成立.
(2)假設當時等式成立,即,
那么
.
這就是說,當時等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何都成立.
解法二:由,,
可得,
所以為等差數(shù)列,其公差為1,首項為0,故,所以數(shù)列的通項公式為.
(Ⅱ)解:設, ?、?/p>
?、?/p>
當時,①式減去②式,
得,
.
這時數(shù)列的前項和.
當時,.這時數(shù)列的前項和.
(Ⅲ)證明:通過分析,推測數(shù)列的第一項最大,下面證明:
. ?、?/p>
由知,要使③式成立,只要,
因為
.
所以③式成立.
因此,存在,使得對任意均成立.
22.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎知識,考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力.滿分14分.
(Ⅰ)證法一:由題設及,,不妨設點,其中.由于點在橢圓上,有,即.
解得,從而得到.
直線的方程為,整理得.
由題設,原點到直線的距離為,即,
將代入上式并化簡得,即.
證法二:同證法一,得到點的坐標為.
過點作,垂足為,易知,故.
由橢圓定義得,又,
所以,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:設點的坐標為.
當時,由知,直線的斜率為,所以直線的方程為,或,其中,.
點的坐標滿足方程組
將①式代入②式,得,
整理得,
于是,.
由①式得
.
由知.將③式和④式代入得,
.
將代入上式,整理得.
當時,直線的方程為,的坐標滿足方程組
所以,.
由知,即,
解得.
這時,點的坐標仍滿足.
綜上,點的軌跡方程為 .
解法二:設點的坐標為,直線的方程為,由,垂足為,可知直線的方程為.
記(顯然),點的坐標滿足方程組
由①式得. ?、?/p>
由②式得. ?、?/p>
將③式代入④式得.
整理得,
于是. ?、?/p>
由①式得. ⑥
由②式得. ?、?/p>
將⑥式代入⑦式得,
整理得,
于是. ?、?/p>
由知.將⑤式和⑧式代入得,
.
將代入上式,得.
所以,點的軌跡方程為.