題目所在試卷參考答案：

數(shù)學(xué)(理工類)參考解答

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分50分．

1．C　　　　　　　　　　　 2．B　　　　　　　　　　　 3．A　　　　　　　　　　　 4．D　　　　　　　　　　　 5．C　　　　　　　　　　　

6．D　　　　　　　　　　　 7．B　　　　　　　　　　　 8．B　　　　　　　　　　　 9．A　　　　　　　　　　　 10．A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分24分．

11．2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13．3　　　　　　　　　　　

14．　　　　　　　　　　　　　　　　　 15．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 16．390

三、解答題

17．本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力．滿分12分．

(Ⅰ)解：．

因此，函數(shù)的最小正周期為．

(Ⅱ)解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384004_1/image127.gif">在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，，，

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．

解法二：作函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下：

由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．

18．本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．

(Ⅰ)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件．由于事件相互獨(dú)立，且，．

故取出的4個球均為黑球的概率為．

(Ⅱ)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件．由于事件互斥，

且，．

故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為．

(Ⅲ)解：可能的取值為．由(Ⅰ)，(Ⅱ)得，，

．從而．

的分布列為

	0	1	2	3

的數(shù)學(xué)期望．

19．本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．滿分12分．

(Ⅰ)證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

(Ⅱ)證明：由，，可得．

是的中點(diǎn)，．

由(Ⅰ)知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內(nèi)的射影是，，．

又，綜上得平面．

(Ⅲ)解法一：過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．則(Ⅱ)知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設(shè)，

可得．

在中，，，

則．

在中，．

所以二面角的大小是．

解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．

過點(diǎn)作，垂足為，故平面．過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，設(shè)，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

20．本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法．滿分12分．

(Ⅰ)解：當(dāng)時，，，

又，．

所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

(Ⅱ)解：．

由于，以下分兩種情況討論．

(1)當(dāng)時，令，得到，．當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

		0		0
		極小值		極大值

所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．

函數(shù)在處取得極小值，且，

函數(shù)在處取得極大值，且．

(2)當(dāng)時，令，得到，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

		0		0
		極大值		極小值

所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．

函數(shù)在處取得極大值，且．

函數(shù)在處取得極小值，且．

21．本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．滿分14分．

(Ⅰ)解法一：，

，

．

由此可猜想出數(shù)列的通項公式為．

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．

(1)當(dāng)時，，等式成立．

(2)假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，

那么

．

這就是說，當(dāng)時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何都成立．

解法二：由，，

可得，

所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為．

(Ⅱ)解：設(shè)，　　　①

　　　　　　　?、?/p>

當(dāng)時，①式減去②式，

得，

．

這時數(shù)列的前項和．

當(dāng)時，．這時數(shù)列的前項和．

(Ⅲ)證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：

．　　　?、?/p>

由知，要使③式成立，只要，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384004_1/image284.gif">

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對任意均成立．

22．本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿分14分．

(Ⅰ)證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點(diǎn)，其中．由于點(diǎn)在橢圓上，有，即．

解得，從而得到．

直線的方程為，整理得．

由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，

將代入上式并化簡得，即．

證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．

過點(diǎn)作，垂足為，易知，故．

由橢圓定義得，又，

所以，

解得，而，得，即．

(Ⅱ)解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

當(dāng)時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．

點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．將③式和④式代入得，

．

將代入上式，整理得．

當(dāng)時，直線的方程為，的坐標(biāo)滿足方程組

所以，．

由知，即，

解得．

這時，點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足．

綜上，點(diǎn)的軌跡方程為　．

解法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為．

記(顯然)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

由①式得．　　　　　?、?/p>

由②式得．　　?、?/p>

將③式代入④式得．

整理得，

于是．　　?、?/p>

由①式得．　　?、?/p>

由②式得．　?、?/p>

將⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　?、?/p>

由知．將⑤式和⑧式代入得，

．

將代入上式，得．

所以，點(diǎn)的軌跡方程為．