2.(廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的長為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖5所示).將矩形折疊,使A點(diǎn)落在線段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程;
(Ⅱ)求折痕的長的最大值.
.解(I) (1)當(dāng)時(shí),此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合, 折痕所在的直線方程
(2)當(dāng)時(shí),將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G(a,1)
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱,有
故G點(diǎn)坐標(biāo)為,從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)(線段OG的中點(diǎn))為
折痕所在的直線方程,即
由(1)(2)得折痕所在的直線方程為:
k=0時(shí),;時(shí)
(II)(1)當(dāng)時(shí),折痕的長為2;
(1) 當(dāng)時(shí), 折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為
令解得 ∴
所以折痕的長度的最大值2