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11.半徑為的球面上有、、、四點,且,,兩兩互相垂直,則、、
面積之和的最大值為( C ).
A. B. C. D.
參考答案
一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.每小題只有一項符合要求)
題號 |
1 |
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10 |
11 |
12 |
答案 |
B |
C |
C |
D |
D |
C |
A |
C |
C |
C |
C |
D |
二.填空題(每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上)
13. 14.①②③ 15. 16.
三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線.
⑴求; ?、魄蠛瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間;
⑶畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
解:⑴∵是函數(shù)的圖像的對稱軸,∴,∴.
.∵,∴.
⑵由⑴知,由題意得,
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⑶由
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18.(本小題共12分) (文)某課程考核分理論與實驗兩部分進行,每部分考核成績只記“合格”與“不
合格”,兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概
率分別為;在實驗考核中合格的概率分別為,所有考核是否合格相互之間沒
有影響.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(Ⅱ)求這三人該課程考核都合格的概率.(結(jié)果保留三位小數(shù))
解:記“甲理論考核合格”為事件;“乙理論考核合格”為事件;“丙理論考核合格”為事件;
記為的對立事件,;記“甲實驗考核合格”為事件;“乙實驗考核合格”為事件;
“丙實驗考核合格”為事件.
(Ⅰ)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件,記為的對立事件.
解法:
.
解法:
. ∴理論考核中至少有兩人合格的概率為.
(Ⅱ)記“三人該課程考核都合格”為事件.
.
∴這三人該課程考核都合格的概率為.
(理)某城市有甲、乙、丙個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是,,,且
客人是否游覽哪個景點互不影響,設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點
數(shù)之差的絕對值.
(Ⅰ)求的分布及數(shù)學期望;
(Ⅱ)記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件,求事件的概率.
解:(Ⅰ)分別記“客人游覽甲景點”,“客人游覽乙景點”,“客人游覽丙景點”為事件.
由已知相互獨立, ,,.客人游覽的景點數(shù)的可能取值
為.相應地,客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為,∴的可能取值為1,3.
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∴的分布列為
.
(Ⅱ)的可能取值為.當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
當時,函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)遞增.∴.
19.(本題滿分12分)(文)已知函數(shù).
(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,函數(shù)的圖象能否總在直線的下方?說明理由.
(Ⅲ)若函數(shù)在上是增函數(shù),是方程的一個根.求證:.
解:(文) (Ⅰ).
(Ⅱ)時,,令得.由于,,
∴函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.
(Ⅲ)因函數(shù)在上是增函數(shù),∴在區(qū)間上恒成立,即在
區(qū)間上恒成立,∴,又由得,而,
即.
(理)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時,.
(Ⅰ)求的解析式; (Ⅱ)試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)若,且,證明:.
(理)解:(Ⅰ)當時,.設(shè),則,∴
,∵是奇函數(shù),∴,故.
(Ⅱ)設(shè)是區(qū)間上的任意兩個實數(shù),且
則,當時,
,而及,∴,即在上
為減函數(shù).同理,當,,即在上為增函數(shù).
(Ⅲ)∵,∴同號,先證明均為正數(shù).∵在是增函數(shù),由得
,又,∴,∴.
∵,∴.且,即,∴,
.
若均為負數(shù),,則.已知在上是增函數(shù),
,又,∴
∴,,∴.
20.(本小題共12分)已知斜三棱柱,,,在底面上
的射影恰為的中點,又知.
(Ⅰ)求證:平面; (Ⅱ)求到平面的距離;
(Ⅲ)求二面角的大小.
解法:(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,又,∴平面,
得,又,∴平面.
(Ⅱ)∵,四邊形為菱形,故,又為
中點,知∴.取中點,則平面,
從而面面,過作于,則面,
在中,,故,即到
平面的距離為.
(Ⅲ)過作于,連,則,從而
為二面角的平面角,在中,,
∴,在中,,故二面角的大小為.
解法:(Ⅰ)如圖,取的中點,則,∵,∴,
又平面,以為軸建立空間坐標系,
則,,,,,,
,,由,知,
又,從而平面.
(Ⅱ)由,得.設(shè)平面的法向量
為,,,,設(shè),則.
∴點到平面的距離.
(Ⅲ)設(shè)面的法向量為,,,∴.
設(shè),則,故,根據(jù)法向量的方向
可知二面角的大小為.
21.(本小題滿分12分)設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點,橢圓長半軸的長等
于焦距,且為它的右準線.
⑴求橢圓的方程;
⑵設(shè)為右準線上不同于點的任意一點,若直線、
分別與橢圓相交于異于、的點、,證明:點在以
為直徑的圓內(nèi).
解:⑴依題意得,,解得,從而.故橢圓的方程為.
⑵解法:由⑴得,,.∵M點在橢圓上,∴?、?又點異于
點、,∴,由三點共線得.∴,,
∴ ②.將①代入②,化簡得.
∵,∴,則為銳角,∴為鈍角,故點在以為直徑的圓內(nèi).
解法:由⑴得,,設(shè).則,.又的中點
為,依題意,點到圓心的距離與半徑的差
③.又直線:,
直線:,而兩直線與的交點在準線上,∴,即
?、?又點M在橢圓上,則,即 ⑤.于是將④、⑤
代入③,化簡后可得.從而,點在以為直徑的圓內(nèi).
22.(本小題滿分14分)(文)已知數(shù)列滿足,且對一切,有,其中.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)求證:.
解:(文)(Ⅰ)由 ?、佟 ?得 ② ②-①得
,∵, ∴.
由,得,兩式相減,得.
∵,∴.當時易得,,,∴.
從而是等差數(shù)列,其首項為,公差,故.
(Ⅱ).
(理)已知數(shù)列中,,.
⑴求及通項;
⑵設(shè)數(shù)列滿足,求證:.
解:⑴,?、伲? ?、?/p>
①②得,即,,
∴.∴.
⑵由⑴得,,∴是單調(diào)遞增數(shù)列.
故要證,只需證.若,則顯然成立.
若,則.∴.
因此,, ∴,故.