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12. 一樣本的所有數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)如下:
則在的頻率為
08年高考理科數(shù)學(xué)模擬考試題卷
參考答案
一、選擇題:(本大題共10個(gè)小題;每小題5分,共50分。)
題 號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
答 案 |
D |
B |
C |
A |
D |
C |
A |
B |
A |
D |
二、填空題:(本大題共5小題,每小題5分,共25分。)
11、; 12、 ;
13、1; 14 、720; 15、②④;
三、解答題:(本大題共6小題,共75分。)
16、(本小題滿分12分)
解:(I) 當(dāng) x = 時(shí),cos <a,c> = ………… 1分
= ………… 2分
= -cos x = -cos = cos ………… 3分
∵ 0≤<a,c>≤p, ………… 4分
∴ <a,c> = ………… 5分
(II) f (x) = 2a.b + 1 = 2 (-cos 2 x + sin x cos x) + 1 ………… 6分
= 2 sin x cos x-(2cos 2 x-1) ………… 7分
= sin 2x-cos 2x ………… 8分
= sin (2x-) ………… 9分
∵ x∈[,],∴ 2x-∈[,2p], ………… 10分
故 sin (2x-)∈[-1,] ………… 11分
∴ 當(dāng) 2x-= ,即 x = 時(shí),f (x)max = 1 ………… 12分
17、(本小題滿分12分)
解:(I) n = 1 時(shí),2.a1 = S1 = 3,∴a1 = ; …………2分
當(dāng) n≥2 時(shí),2 n.an = Sn-Sn-1 = -6,∴ an = . 又 ≠ …………4分
∴ 通項(xiàng)公式an = …………6分
(II)當(dāng) n = 1 時(shí),b1 = 2-log 2 = 3,∴ T1 = = ; …………8分
n≥2時(shí), bn = n.(2-log 2) = n.(n + 1), ∴ = …………10分
∴ Tn = + + … + = + + + … + = -
∴ Tn = - …………12分
18、(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵ B1D⊥平面ABC, AC平面ABC,
∴ B1D⊥AC, 又AC⊥BC, BC∩B1D=D.
∴ AC⊥平面BB1C1C. …………………… 3分
(Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB1C1C ,要使AB1⊥BC1 ,由三垂線定理可知,
只須B1C⊥BC1, ………………………… 5 分
∴ 平行四邊形BB1C1C為菱形, 此時(shí),BC=BB1.
又∵ B1D⊥BC, 要使D為BC中點(diǎn),只須B1C= B1B,即△BB1C為正三角形, ∴ ∠B1BC= 60°. ………………………… 7分
∵ B1D⊥平面ABC,且D落在BC上,
∴ ∠B1BC即為側(cè)棱與底面所成的角.
故當(dāng)α=60°時(shí),AB1⊥BC1,且使D為BC中點(diǎn)…………………… 8分
(Ⅲ)過(guò)C1作C1E⊥BC于E,則C1E⊥平面ABC.
過(guò)E作EF⊥AB于F,C1F,由三垂線定理,得C1F⊥AB.
∴∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角.………………… 10分
設(shè)AC=BC=AA1=a,
在Rt△CC1E中,由∠C1BE=α=,C1E=a.
在Rt△BEF中,∠EBF=45°,EF=BE=a.
∴∠C1FE=45°,故所求的二面角C1-AB-C為45°.………… 12分
解法二:(1)同解法一 ……………… 3分
(Ⅱ)要使AB1⊥BC1,D是BC的中點(diǎn),即=0,||=||,
∴, =0,∴.
∴,故△BB1C為正三角形,∠B1BC=60°;
∵ B1D⊥平面ABC,且D落在BC上, …………………… 7分
∴ ∠B1BC即為側(cè)棱與底面所成的角.
故當(dāng)α=60°時(shí),AB1⊥BC1,且D為BC中點(diǎn). …………………8分
(Ⅲ)以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,經(jīng)過(guò)C點(diǎn)且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,-,a),
平面ABC的法向量n1=(0,0,1),設(shè)平面ABC1的法向量n2=(x,y,z).
由n2=0,及n2=0,得
∴n2=(,,1).………………10分
cos<n1, n2>== ,
故n1 , n2所成的角為45°,即所求的二面角為45°.……………………12分
19、(本小題滿分12分)
解:(I) x 的所有可能取值為3400,2400,1400,400.………………2分
(II) P(x = 3400) = ( ) 3 = ……………………4分
P(x = 2400) = C31( ) ( ) 2 = ………………6分
P(x = 1400) = C32( ) 2 ( ) = ………………8分
P(x = 400) = C33( ) 3 = ……………………10分
x 的分布列為
x |
3400 |
2400 |
1400 |
400 |
P |
|
|
|
|
……………………………………10分 ……12分
20、(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設(shè),由 ,得
由在雙曲線上,有
①
②…………………………………………2分
由,即,得
, ③………………………………………4分
①+2×③+②,并整理,得
這表明點(diǎn)恒在雙曲線上.……………………………6分
(Ⅱ)同(Ⅰ)所設(shè),由,得
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的漸近線上,有
即,亦即
…………………10分
將①②③三式代入上式,得,從而因此,不存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù),使得點(diǎn)在題設(shè)雙曲線的漸近線上.…………………13分
21、(本小題滿分14分)
解:(I) 由題意得 f (e) = pe--2ln e = qe--2 ………… 1分
Þ (p-q) (e + ) = 0 ………… 2分
而 e + ≠0,∴ p = q ……………………………………………………3分
(II)由(I)知 f (x) = px--2ln x
f ' (x) = p + -= ……………………4分
令 h(x) = px 2-2x + p,要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足:h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分
① 當(dāng) p = 0時(shí), h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f ' (x) = - < 0,
∴ f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減,故 p = 0適合題意. ………………………….6分
② 當(dāng) p > 0時(shí),h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開(kāi)口向上的拋物線,對(duì)稱軸為 x = ∈(0,+¥),∴ h(x)min = p-
只需 p-≥0,即 p≥1 時(shí) h(x)≥0,f ' (x)≥0,
∴ f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞增,
故 p≥1適合題意. ……………………………………………7分
③當(dāng) p < 0時(shí),h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開(kāi)口向下的拋物線,對(duì)稱軸為 x = Ï (0, + ¥).
只需 h(0)≤0,即 p≤0時(shí) h(x)≤0在 (0, + ¥)恒成立.
故 p < 0適合題意. ……………………8分
綜上可得, p≥1或 p≤0. ……………………………………………9分
另解:(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x
f’(x) = p + -= p (1 + )-
要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需 f’(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足:f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.
由 f’(x)≥0 Û p (1 + )-≥0 Û p≥ Û p≥()max,x > 0
∵ ≤ = 1,且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立,故 ()max = 1
∴ p≥1
由 f’(x)≤0 Û p (1 + )-≤0 Û p≤ Û p≤()min,x > 0
而 > 0 且 x → 0 時(shí),→ 0,故 p≤0
綜上可得,p≥1或 p≤0
(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù)
∴ x = e 時(shí),g(x)min = 2,x = 1 時(shí),g(x)max = 2e
即 g(x) Î [2,2e] ………… 10分
① p≤0 時(shí),由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合題意?!?…… 11分
② 0 < p < 1 時(shí),由x Î [1,e] Þ x-≥0
∴ f (x) = p (x-)-2ln x≤x--2ln x
右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式,故在 [1,e] 遞增
∴ f (x)≤x--2ln x≤e--2ln e = e--2 < 2,不合題意?!?12分
③ p≥1 時(shí),由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增,f (1) = 0 < 2,又g(x) 在 [1,e] 上是減函數(shù)
∴ 本命題 Û f (x)max > g(x)min = 2,x Î [1,e]
Þ f (x)max = f (e) = p (e-)-2ln e > 2
Þ p > (∵ >1) ………… 13分
綜上,p 的取值范圍是 (,+¥) ………… 14分
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