考點一:向量的概念與運算
例題1:下面有四個關(guān)于向量數(shù)量積的關(guān)系式:
①0.0=0;②(a.b).c=a.(b.c);③a.b=b.a;④|a.b|≤a.b
其中正確的是(
)
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
解析:根據(jù)向量運算法則,①和③是正確的.
對于②,(a.b).c是一個與向量c平行的向量,而a.(b.c)是一個與向量a平行的向量,通常情況下不正確;對于④,|a.b|是一個正實數(shù),而a.b可能是一個負(fù)實數(shù).
答案:D
點評:從向量的基本運算法則出發(fā),細(xì)心判斷.這里要特別注意向量0與實數(shù)0的區(qū)別.
例題2:平行四邊形OACB中,BD=BC,OD與BA交于E,求證:BE=BA
證明:設(shè)E’是AB上一點,且BE’=BA
只需證E、E’重合即可,
設(shè),則
∵
∴3(
∴
∴,∴O、E’、D三點共線,即E、E’重合
∴BE=BA
點評:用向量方法證明平面幾何問題,首先是選擇一組適當(dāng)?shù)幕紫蛄?,然后再設(shè)法將其余相關(guān)向量都用基底向量表示出來,這樣,相關(guān)點、線關(guān)系就能很容易第凸現(xiàn)出來.
考點二:定比分點與解三角形
例題3:已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標(biāo)分別是A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),則第四個頂點D的坐標(biāo)為(
)
A.(2,2) B.(-6,0) C.(4,6) D.以上都不對
解析:本題只需要抓住平行四邊形的兩條對角線互相平分,
于是設(shè)D(x,y),有-2+(-1)=3+x且1+3=4+y
從而x=-6,y=0
答案:B
點評:利用平面幾何性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式,是解決本題的要點.
例題4:已知C為線段AB上一點,P為直線AB外一點,滿足||=2,|-|=2,,I為PC上一點,且=+λ()(λ>0),則的值為_______.
[點撥]確定PC、AI分別為∠APB、∠BAP的平分線,進(jìn)而確定I在三角形中的位置.
解:cos∠APC
cos∠BPC
所以∠APC=∠BPC,即PC平分∠APB
∵(λ>0)
∴(λ>0)
又均為單位向量,由向量的平行四邊形法則,知AI平分∠PAB
又I在PC上,故I是△ABP的內(nèi)心
又cos∠IBD=(D為⊙I與AB的切點)
由=2
又
解得:cos∠IBD==-1
[點評]1、三角形中四心的向量表示:2、本題通過內(nèi)切圓的切點D找出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,技巧性較強,考查圓的切線性質(zhì).
考點三:向量與立體幾何
例題5:如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2DC=2,E為BD1的中點,F(xiàn)為AB的中點.
(1)求證:EF∥平面ADD1A1;
(2)若BB1=,求A1F與平面DEF所成角的大小.
解析:(1)連結(jié)AD1,在△ABD1中,
∵E、F分別是BD1、AB的中點,∴EF∥AD1.
又EFË平面ADD1A1
∴EF∥平面ADD1A1
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz
(DG是AB邊上的高)
則有A1(),F(xiàn)(,0)
D1(0,0,),B(,0)
∴E()
設(shè)平面DEF的法向量為=(x,y,z)
則Þ
解得y=-x,z=x
取非零法向量=(1,-,)
∴A1F與平面DEF所成的角即是所成銳角的余角
由cos<>===-
∴A1F與平面DEF所成教的大小為-arccos,即arcsin.
點評:立體幾何中,二面角問題幾乎每年必考,幾何法也有很多解決方法,如直接法、垂面法、三垂線法、面積射影法等等,這些方法都離不開嚴(yán)密的邏輯證明.而向量法則以算代證,從一定程度上減輕了對邏輯思維的要求,但也應(yīng)該注意到,向量法計算較為煩瑣,運算量較大,必須小心謹(jǐn)慎,否則也極易出現(xiàn)差錯.
例題6:如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠
BCD=60°
⑴證明:C1C⊥BD;
⑵假定CD=2,CC1=,記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α-BD-β的平面角的余弦值;⑶當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.
⑴證明:連結(jié)A1C1、AC,AC和BD交于O,連結(jié)C1O
∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,BC=CD
又∵ ∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,
∴ △C1BC≌△C1DC
∴
C1B=C1D
∵DO=OB∴ C1O⊥BD
但AC⊥BD,AC∩C1O=O
∴
BD⊥平面AC1,
又CC1∩平面AC1∴ CC1⊥BD
證法二:設(shè)CD、CB、CC1三個方向上的單位向量分別為、、
則、、兩兩成60°角
且,,
則
于是=mn(=0
故
CC1⊥BD
⑵解:由⑴知AC⊥BD,C1O⊥BD
∴ ∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角
在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60°
∴
C1B2=22+()2-2×2××cos60°=
∵∠OCB=60°,∴ OB=BC=1
∴
C1O2=C1B2=OB2=
∴
C1O=,即C1O=C1C
作C1H⊥OC,垂足為H.
∴點H是OC的中點,且OH=,
∴
cos∠C1OC=.
⑶當(dāng)=1時,能使A1C⊥平面C1BD
證明一:∵=1
∴
BC=CD=C1C
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD
由此可推得BD=C1B=C1D
∴三棱錐C-C1BD是正三棱錐.
設(shè)A1C與C1O相交于G.
∵
A1C1∥AC,且A1C1:OC=2:1
∴
C1O:GO=2:1
又C1O是正三角形C1BD的BD邊上的高和中線,
∴點G是正三角形C1BD的中心.
∴
CG⊥平面C1BD
即
A1C⊥平面C1BD.
證明二:由⑴知,BD⊥平面AC1
∵
A1C∩平面AC1,∴ BD⊥A1C.
當(dāng)=1時,平行六面體的六個面是全等的菱形.
同
BD⊥AC1的證法可得BC1⊥A1C
又BD⊥BC1于B
∴
A1C⊥平面C1BD
證法三:設(shè)=x,即
由(2)可知:BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1C
由線面垂直得判定定理,知:如果A1C⊥DC1,則A1C⊥平面C1BD成立.
∵=m+m+
=-m+
又∵=0
∴(m+m+)(-m+e3)=0
展開整理得:-=0
∴x=1
以上各步可逆,所以x=1時,即=1時,A1C⊥平面C1BD
點評:空間向量中,基底向量的使用是學(xué)生的一個弱項,許多學(xué)生動輒建立坐標(biāo)系,對于垂直條件“不足”的問題往往感到手足無措,本題就是一例.從本題的向量證明方法中,還可以明確看到不僅解決了幾何證法中“有一解”的問題,而且明確了“只有一解”的充要關(guān)系.
考點四:向量與其他知識點綜合問題
例題7:已知A、B、C是△ABC三內(nèi)角,向量且m.n=1
(1)求角A
(2)若
解析:(1)∵ ∴ 即
,
sin(A-)=
∵ ∴
∴A=
(2)由題知,整理得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0
∴cosB≠0 ∴tan2B-tanB-2=0
∴tanB=2或tanB=-1
而tanB=-1使cos2B-sin2B=0,舍去
∴tanB=2
∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
點評:向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個熱點,但通常難度不大,一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件,并結(jié)合簡單的向量運算,而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換,以及解三角形等知識點.
例題8:設(shè)向量=(1,0),=(0,1),=(x+m)+y,=(x-m)+y,且||+||=6,0<m<3,x>0,y∈R.
(1)求動點P(x,y)的軌跡方程;
(2)已知點A(-1,0),設(shè)直線y=(x-2)與點P的軌跡交于B、C兩點,問是否存在實數(shù)m,使得?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
解析:(1)∵=(1,0),=(0,1),||+||=6
∴=6
上式表示動點P(x,y)到兩定點F1(-m,0)和F2(m,0)的距離之和為6
而0<m<3,故|F1F2|<6
故P點軌跡為以F1、F2為焦點,長軸長2a=6的橢圓,
于是a=3,c=m,b2=9-m2
故P點軌跡方程為=1(x>0,0<m<3)
(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)
∵=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),
∴=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
而y1y2=(x1-2).(x2-2)=[x1x2-2(x1+x2)+4]
∴=x1x2+(x1+x2)+1+[x1x2-2(x1+x2)+4]
=[10x1x2+7(x1+x2)+13]
若存在實數(shù)m,使得成立
則由[10x1x2+7(x1+x2)+13]=
Þ 10x1x2+7(x1+x2)+10=0
……①
由
消去y得:(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ……②
由②有
由①④⑤解得m2=<9,且此時△>0
但由⑤,有9m2-77=<0與題設(shè)矛盾
∴不存在符合題意的實數(shù)m,使得.
點評:向量與解析幾何的綜合問題,通常是利用向量的幾何特性來描述解析幾何中的圖象性質(zhì),一般解決辦法是利用向量的坐標(biāo)表示,“盡快”轉(zhuǎn)化為純解析幾何問題求解.當(dāng)然也不排除利用平面幾何性質(zhì),直接將向量特征轉(zhuǎn)化為幾何特征,更快地得到問題的解.